Matematyka
Calal matematyka zaczyna się od liczenia. Liczby naturalne 1,2,3…posiadaja intuicyjne appeal
I kazde dziecko zaczyna od kalkulacji przez proste numerowanie i dodawanie. Naturalne liczby pojawily się naturalnie dla nas ponieważ uczymy się ich w intuicyjny sposób. Nawet niektóre ze zwierzat jak papugi sa zdolne do liczenia albo nawet do niektórych prostych kalkulacji.
Matematyka oznacza liczby naturalne za pomoca symboli N. N jest zdefiniowane w zakresie 0 do nieskończoności. Każdy zna pierwsze poszerzenie liczb naturalnych. Jest to zbior calych liczb całkowitych., zdefiniowanych w zakresie od minus nieskończoności do plus nieskończoności. Matematycy zapisuja iż n jest czescia z to znaczy ze liczby naturalne zawieraja się w zbiorze liczb całkowitych. Zauważyć należy z liczby naturalne sa zdefiniowanie przez prosta operacje dodawanie. Operacja odejmowania jest również możliwa ale z waznymi limitami, ograniczeniami. 5-3 jest zdefiniowane ale 3-5 nie jest zdefiniowane wliczbach naturalnych. Jeżeli chcemy poszerzyc to ograniczenie potrzebujemy liczb całkowitych. W ten sam sposób możemy mnożyć liczby całkowite ale dla nastepnej operacji, dzielenia , posiadamy również ograniczenie ponieważ ¾ nie jest zdefiniowane prze zliczby całkowite. Hence potrzebujemy nastpnego rozszerzenia do liczba wymiernych i zauważamy ze liczby naturalne sa czescia liczba całkowitych a liczby całkowite sa czesci liczba wymiernych .
Znowu nastepna operacja jest w pelni zdefiniowana z liczbami wymiernymi , potegowanie. Możemy spotęgować 3,3 z liczbami wymiernymi . ale pierwiastkowanie nie jest zdefiniowane. Ze szkoly wiemy ze pierwiastek z dwoch jest również nazywane liczba niewymierna ponieważ nie może być zapisana w formie ilorazu a przez b gdzie a i b sa elementami zbioru liczb całkowitych. Do zdefiniowania operacji jaka jest pierwiastek z dwoch potrzebujemy zbioru liczb niewymiernych (Real numbers).
Oczywiście to wszystko powinno być znane ze szkoly. Pokazuje nam dwie wazne rzeczy. Pierwsza matematycy uzywaja symboli do oznaczen swoich objektow. N, Z Q i R sa sybolami. Drugi zaczynamy z intuicyjnym podejściem przez definiowanie obiktow poprzez podstawowe opracj matematyczne, dodawanie, odejmowanie, potegowanie, pierwiastkowanie.
Liczba symboli jst ograniczona. Dlatego matematycy musza używać roznych opisow i alfabetu by dawac sobie rade ze swoimi obiektami. Bardzo często uzywaja greckiego alfabetu zawartego na przykład w skrzynce 1 i 2.
Strona 5
Intuicyjne podejście nie jest tylko jedynym podejściem aby zaczac. Nastepne podejście jest to aby zaczac z hipotezami zwanymi aksjomatami. Wystepuja zdania z formalnego jezyka, który zawiera podstawowe relacje pomiedzy obiektami matematycznymi. Te relacje definiuja objety. Pierwsze matematyki który opieral się na czesci naukowej matematyki, geometri, na zasadzie hipotez, był grek Euclid. Jego ksiazka elementy była uzywana w szkole do 19 wieku . niemiecki matematyk Hilbert intended podstawe wszystkich czesci matematycznych na systemie aksjomatow, projekt miał Duzy wpływ na dzisiejszy wpływ naukowy nazywany metamatematyka.
Nasze naturalne numery mogą również być przedstawione za pomoca hipotez. System liczb naturalnych przedstawiony za pomoca wloskiego matematyka peano i niemieckiego matematyka Wedekinda przedstawia się następująco:
Widzimy ze aksjomaty nie musza być intuicyjnie czyste bądź nwet samo udowadniające się. Pierwsze spojrzenie peano i dedekinda aksjomaty pojawiaja się troszke dziwaczne.
Jezdnakze te 5 akjomatow pozwalaja zawierac podstawowe zasady kalkulacji które sa zdefiniowane prze liczby naturalne. Co to jest na przykład 2 plus dwa aksjomat 2 i 4 które sa elementami związanymi z większymi i mniejszymi relacjami . te elementy sa określone przez nas jako 0 , 1, 2, 3…. Hence numery sa w naszym systemie aksjomatycznym tylko nazwami dla tych elementow zdefiniowanych przez aksjomaty.
Aksjomat 2 mowi ze 2 jest 1prim i 0 dwaprim . dlatego dwa plus dwa to dwa prim z zero prim, drugi następnik od drugiego następnika zero . to jest zero do 4 prim. Nazywamy to 4 nastepnik zero 4 prim.
To wyglada bardzo abstrakcyjnie ale pokazuje nam wazne cechy każdego naukowego aksjomatu który musi mieć. Pierwsze każdy aksjomat musi być zgodny . wszystkie aksjomaty musza być niezależne od siebie. Aksjomat musi być zdefiniowany by definowac podstawowe obiekty i relacje. Na przykład powyższe aksjomaty naturalnych liczb definiuje cale liczby naturalne, ale nie definiuja znaczenia następników.
Czemu natura kocha logarytmy
Wyobrazmy sobie slima jest 10 metrow od rofliny i porusza się ze calta prędkością 0,5 metra na godzine. Oczywiście po godzinie będzie go dzielilo 9,5 metra po 4 godzinach 8 metrow i tak dalej. Kiedy slimak osiagnie cel ? oczywiście po 20 godzinach. Oczywiście jest to bardzo smieszny przykladz ale wprowadza nas w bardzo prawdopodobne możliwości jak opisac i zwizualizowac dany proces.
Spojrzmy na rysunek obok . uzywamy tak zwanego systemu koordynacji Kartezjusza z dwiema osiami. Oznaczamy dystans na osi y i czas na osi x . rozwiązaniem jest liniowy związek pomiedzy dystansem i czasem . taka prosta liniowość jest zwana proporcjonalnym związkiem, w tym specjalnym przypadku odwrotnie proporcjonalny związek. Odległość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu. W czasie 0 mamy odległość initial nazywana jest intercept. Jednakze dla matematycznego opisu potrzebujemy nastenej wartości, the slope. The slope opisuje jak szybko slimak osiagnie cel czyli roślinę. Steeper the slope najszybszy slimak osiagnie roślinę. Wygodna definicja slope jest uzywanie ilorazu delta y do delta x dwoch punktow oznaczonych na osiach ponieważ prosta geometria mowi nam ze jest to sprawa proporcjonalnie ten quotient będzie staly dlaczego?. My mozemy ospiac caly proces następująco : o czasie 0 odleglosc wynosi 10 metrow o czasi 1 odleglosc wynosi 10 metrow odjsc 0,5 razy 1 m ponieważ slimac chodzi z predzkoscia 0,5 metra na godzine. O czasi 2 odleglosc wynosi 10 metrow odjąć 0,5 razy 2 , ponieważ slimak pokonuje 1 metr w dwie godziny. I tak dalej. Generalnie mamy odległość czyli initial distance minus prędkość razy czasy albo inny matematyczny jezyk.
WZOR
Jezeli m jest negatywne jak w naszym przypadku propocjonalnosc jest odwrotna albo w przeciwnym kierunku, dla dodtaniej slopey I x jest wporst propocjonalna.
Nasza definicja slope daje nam natychmiastowych nastepny związek.
Jeżeli my teraz chcemy Inter the intercept mamy ustawiony x jako 0 a y daje intercept.
Much more common are (seemingly) more complicated
relationships like the following. The volume of a cube equals the cube’s length taken to the third power: V ∝
L3 (read V is proportional to the third power of L). The volume of an area scales to its diameter by A ∝ L2. For
most animals and plants a similar relationship holds but the exponents are lower. For instance, insect body
weights scale to body length with W ∝ L2.6. In other words, the body weight is only roughly proportional to the
third power of body length; mathematically speaking
Bardziej popularne polaczenia sa bardziej skomplikowanerelacje na przyklad jak nastepujace. Ilość cube rowna się długości cube do potegi trzeciej. Wielkość jest powierzchnia. Dla większości zwierzat i roslim występują podobne związki ale exponents sa nizsze. Na przykladz cialo waga ciala insekta jest zwiazana z długością ciala. Innymi slowy waga ciala jest tylko roughly proporcjonalna do trzeciej potegi długości dziala .
Such a relationship is shown in the Figure below (Fig. 2.2). Now we can’t define an intercept or a slope
of this function. The slope continuously changes and setting L to 0 is impossible. What to do?
We have to transform our equation in order to linearize it. Then we can treat it like our linear function
before. In Excel axes can be rescaled logarithmically as shown below.
For this task we have to remember what a logarithm is. A logarithm is that number with which we have
to take another number (the base) to the power to get
a third number. Hence, the logarithm of body weight
V to base 10 is that number that fulfils the equation V
= 10x. In genera
Taki związek jest pokazany na rysunku poniżej. Teraz nie możemy zdefiniowac interceptuj albo slope tej funkcji. Slope zmienia się ciagle i ustanawia długość 0 za niemozliwa. Co zrobic? Musimy przetransponowac nasz equation w liniowa funkcje. Wtedy możemy ja potraktowac jako funckej liniowa. Dla tego zadania musi przypomniec sobie logarytmy. Logarytm jest liczba z która bierzemy inna liczbe podstawe do potegi trzeciej liczby. Logarytmy wagi ciala podtawa jest 10 liczba która wypelnia eguation .
Generalnie
Most often used are logarithms to base 10 (called decimal logarithms), to base 2 (called binary logarithms,
log2(x) = lb(x)), and to base e (called natural or Neper logarithms, loge(x) = ln(x)). In particular the
latter are of major importance in the natural sciences and have become a standard in the scientific literature.
What is e? e is a curious number that once Neper defined from the following sum
Bardzo czesto uzywamy logarytmu z podstawa 10 znatnych dziesietnymi, z podstawa 2 zwane binarnymi I z baza e znawane logarytmami naturalnymi. Praktycznie latter … co to jest e e to liczba która neper zdefiniowa jak sume..
Rainhardt