FIZYKA 1 a cd.docx

KINEMATYKA to dział fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny.

RUCH- zmiana wzajemnego położenia jednych ciał względem drugich wraz z upływem czasu.

Położenie określamy względem układu odniesienia tzn. wybranego ciała lub układu ciał. Zwróćmy uwagę na to, że ruch tego samego ciała widziany z różnych układów odniesienia może być różny. W szczególności można wybrać taki układ odniesienia, w którym ciało nie porusza się. Oznacza to, że ruch jest pojęciem względnym, w naszych rozważaniach będziemy posługiwać się pojęciem punktu materialnego:

PUNKT MATERIALNY to ciało obdarzone masą, lecz nie posiadające objętości (których rozmiary możemy zaniedbać).

RODZAJE RUCHU:

- ze względu na tor: (ruch prostoliniowy, ruch krzywoliniowy w tym ruch po okręgu)

Torem ruchu (trajektorią) nazywamy krzywą lub prostą zakreśloną w przestrzeni, przez poruszający się punkt. Długość toru nazywamy drogą (s).

- ze względu na prędkość:

Prędkość definiujemy jako zmianę położenia ciała w jednostce czasu.

PRĘDKOŚĆ STAŁA

Jeżeli wskazania prędkościomierza samochodu nie zmieniają się to oznacza, że samochód porusza się ze stałą prędkością v, i jeżeli w pewnej chwili t0 znajdował się w położeniu x0 to po czasie t znajdzie się w położeniu x.

    skąd:      

Zależność między położeniem x i czasem t pokazana jest na rysunku poniżej dla dwóch ciał (np. pojazdów).

Nachylenie wykresu x(t) przedstawia prędkość danego ciała. Różne nachylenia wykresów x(t) odpowiadają więc różnym prędkościom. Prędkość v (wektor) może być dodatnia albo ujemna; jej znak wskazuje kierunek ruchu. Wektor v dodatni - ruch w kierunku rosnących x, ujemny to ruch w kierunku malejących x.

PRĘDKOŚĆ CHWILOWA

Prędkość chwilowa jest pochodną położenia względem czasu.

Gdy samochód przyspiesza lub hamuje to wskazania prędkościomierza zmieniają się i nie możemy mówić o "jednej" stałej prędkości. Prędkość zmienia się i w każdej chwili jest inna.

Wówczas ograniczymy się do bardzo małych wartości x - x0 (Δx) czyli również bardzo małego przedziału czasu Δt = t - t0 (chwili). Prędkość chwilową w punkcie x otrzymamy gdy Δt dąży do zera

Nachylenie krzywej x(t) ponownie przedstawia prędkość v, a znajdujemy je (zgodnie z definicją pochodnej) jako nachylenie stycznej do wykresu x(t), w danym punkcie tj. dla danej chwili t.

Nachylenie krzywej x(t) jest prędkością chwilową

PRĘDKOŚĆ ŚREDNIA

Prędkość średnia ciała w przedziale czasu t jest zdefiniowana jako

gdzie x - x0 jest odległością przebytą w czasie t.

Często określenie zależności x(t) nie jest możliwe, np. przy oszacowaniu czasu dojazdu do wybranej miejscowości nie jesteśmy w stanie przewidzieć wszystkich parametrów podróży wpływających na prędkość takich jak natężenie ruchu, konieczność ograniczenia prędkości w terenie zabudowanym itp. Posługujemy się wtedy pojęciem prędkości średniej.

PRZYSPIESZENIE

Przyspieszeniem nazywamy tempo zmian prędkości, analogicznie do prędkości definiujemy dwa przyspieszenia: średnie i chwilowe. Jeżeli ciało przyspiesza lub hamuje i jego prędkość zmienia się jednostajnie z czasem to przyspieszenie a tego ciała jest stałe

Gdy prędkość rośnie (a > 0) to ruch nazywamy jednostajnie przyspieszonym, a gdy prędkość maleje (a < 0) to ruch określamy jako

jednostajnie opóźniony.

PRZYSPIESZENIE CHWILOWE

Jeżeli przyspieszenie nie jest stałe, zmienia się z czasem, musimy wtedy ograniczyć się do pomiaru zmian prędkości Δv w bardzo krótkim czasie Δt (podobnie jak dla prędkości chwilowej). Wówczas przyspieszenie chwilowe definiujemy jako pierwszą pochodną v względem t.

Ograniczamy się do pomiaru zmian prędkości Δv w bardzo krótkim czasie Δt (podobnie jak dla prędkości chwilowej).

RUCH JEDNOSTAJNIE ZMIENNY

Z ruchem jednostajnie zmiennym spotykamy się na co dzień, np. gdy obserwujemy swobodny spadek ciał w pobliżu powierzchni Ziemi. Jeżeli możemy zaniedbać opór powietrza (w porównaniu z ciężarem ciała) to każde ciało upuszczone swobodnie porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem równym 9.81 m/s2.

Wyrażenie na prędkość i położenie ciała poruszającego się ze stałym przyspieszeniem:

Ponieważ w ruchu jednostajnie przyspieszonym prędkość rośnie jednostajnie od v0 do v więc prędkość średnia wynosi

Łącząc powyższe trzy równania otrzymujemy

Jako podsumowanie, pokazane jest graficzne przedstawienie ruchu prostoliniowego jednostajnego i jednostajnie zmiennego w postaci wykresów x(t), v(t) oraz a(t).

RUCH NA PŁASZCZYŹNIE

Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y. Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.

3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie

Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r(t); prędkość wektor v(t), przyspieszenie wektor a(t). Wektory r(t), v(t), a(t) są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić za pomocą wersorów i, j czyli wektorów jednostkowej długości zorientowanych odpowiednio wzdłuż osi x i y

Położenie punktu określić można podając wektor r lub, dla wybranego układu odniesienia, poprzez podanie współrzędnych tego wektora np. x, y. Oczywiście wektor r i jego współrzędne zmieniają się z czasem więc trzeba podać zależności czasowe r(t), x(t), y(t) tak jak na rysunku

Warto w tym miejscu również zapamiętać, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru poruszającego się punktu.

Punkty, przez które przechodzi poruszający się punkt tworzą krzywą, którą nazywamy torem ruchu.

RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU

Rozważać będziemy ciało poruszające się ze stałą prędkością po okręgu o promieniu R pokazane na rysunku poniżej. Punkt materialny poruszający się jednostajnie po okręgu znajduje się w punkcie P w chwili t, a w punkcie P' w chwili t + Δt. Wektory prędkości v, v' mają jednakowe długości ale różnią się kierunkiem; pamiętajmy, że wektor prędkości jest zawsze styczny do toru. Chcąc znaleźć przyspieszenie musimy wyznaczyć różnicę prędkości v i v'.

W tym celu przerysowujemy wektor v' w punkcie P i wyznaczamy różnicę Δv. Zauważmy, że kąt pomiędzy wektorami v i v' jest równy kątowi θ więc korzystając z podobieństwa trójkątów możemy zapisać równość

gdzie l jest długością odcinka PP', a dla małych wartości l długością łuku PP'.

Ponieważ l = v Δt więc

Znając już Δv możemy obliczyć przyspieszenie

an=ω2R, ω=2π/T (częstotliwość ruchu)

Wektor Δv jest prostopadły do toru to znaczy pokrywa się z kierunkiem promienia i jest zwrócony do środka okręgu. Oznacza to, że i wektor przyspieszenia ma taki sam kierunek i zwrot.

W ruchu po okręgu przyspieszenie to nazywamy przyspieszeniem dośrodkowym (jest zwrócone do środka okręgu), a dla ruchu po dowolnej krzywej przyspieszeniem normalnym an (jest prostopadłe do toru) lub radialnym ar (jest skierowane wzdłuż promienia).

Przyspieszenie dośrodkowe często wyraża się poprzez okres T czyli czas, w którym punkt materialny wykonuje pełen obieg okręgu. Ponieważ                                       więc

Przyspieszenie normalne jest związane ze zmianą kierunku prędkości, a przyspieszenie styczne za zmianę jej wartości.