LOGIKA PIERWSZEGO RZĘDU – SEMANTYKA.
Niech
będzie językiem pierwszego rzędu.
DEF. Interpretacja języka.
Interpretacją języka L nazywamy układ
gdzie
– niepusty zbiór zwany dziedziną lub uniwersum
interpretacji,
– n-argumentowa relacja na zbiorze , ,
tzn ,
– n-argumentowe działanie na zbiorze,
, tzn. ,
– element zbioru .
Dla każdego termu bazowego języka L, , tzn. termu nie zawierającego zmiennych, określamy następująco:
a) jest dane przez interpretację M,
b) .
DEF. Interpretacja normalna.
Interpretację M nazywamy normalna, jeżeli spełnia warunek :
(N) dla każdego istnieje takie, że .
DEF. . A – zdanie.
Niech M spełnia warunek (N). Pojęcie, zdanie A jest prawdziwe w interpretacji M, określamy następująco:
DEF. Domknięcie formuły.
Niech A będzie formułą o zbiorze zmiennych wolnych .
Domknięcie uniwersalne formuły A: .
Domknięcie egzystencjalne formuły A: .
Domknięcie uniwersalne i egzystencjalne formuły A jest zdaniem.
DEF. . A – formuła.
Formuła A jest prawdziwa w interpretacji M (), jeżeli jej domknięcie uniwersalne jest prawdziwe w M.
DEF. Tautologia LPR.
Tautologią (prawem) LPR nazywamy formułę, która jest prawdziwa we wszystkich interpretacjach danego języka.
FAKT 2.1.
Następujące warunki są równoważne:
a) formuła A jest tautologią LPR,
b) formuła nie jest spełnialna.
DEF. Model zbioru formuł.
Interpretację M nazywamy modelem dla zbioru formuł , jeżeli wszystkie formuły ze zbioru są prawdziwe w M,
co oznaczamy przez .
DEF. Wynikanie logiczne.
Formuła A wynika logicznie ze zbioru formuł , jeżeli formuła A jest prawdziwa we wszystkich modelach dla
zbioru .
FAKT 2.2.
a) formuła A wynika logicznie ze zbioru formuł w LPR
b) zbiór nie jest spełnialny.
FAKT 2.3.
Jeżeli podstawienie jest podstawieniem bazowym dla formuły A, to wynika logicznie z A.
Dowód.
Niech będzie M, będzie dowolnym modelem formuły A, .
Formuła A jest prawdziwa w M, a więc jej domknięcie uniwersalne , które jest zdaniem,
jest prawdziwe w M.
Z definicji pojęcia dla zdań otrzymujemy, że dla wszystkich , ,
czyli .
Wujek_Misiek