Fizyka kwantowa. Egzamin. Przykłądowe pytania.pdf

(3515 KB) Pobierz
1. Cząstka “żyjąca” na prostej
x
opisana jest funkcją falową
φ(x)
=
e
−(
x−c
2
) +ikx
2σ
,
gdzie
k, c
i
σ >
0 są rzeczywistymi stałymi. Unormować tę funkcję. Czy pęd cząstki
jest określony w stanie opisanym tą funkcją?
2. Rozwiązać równanie własne dla operatora pędu (w jednym wymiarze).
3. Elektron w atomie wodoru, w najniższych stanach o określonej energii, opisany jest
funkcjami:
r
ψ
100
(r,
θ, φ)
=
e
−
a
,
r
r
ψ
200
(r,
θ, φ)
= (2
−
)e
−
2a
,
a
r
r
ψ
210
(r,
θ, φ)
=
e
−
2a
cosθ
a
h
gdzie
a
=
4πε¯
= 0.529
·
10
−10
m. Unormować te funkcje. Obliczyć iloczyny skalarne
me
2
dla wszystkich możliwych par tych funkcji. Dla każdego z tych stanów określić, jaka
odległość elektronu od jądra jest najbardziej prawdopodobna?
2
4. Udowodnić, że funkcja z poprzedniego zadania
ψ
100
(r,
θ, φ)
=
e
−
a
,
jest funkcją własną operatora energii
2
2
2
2
¯
2
ˆ =
−
h
(
d
+
d
+
d
)
−
1
e .
H
2m
dx
2
dy
2
dz
2
4πε
r
r
Jaka wartość energii odpowiada temu stanowi atomu wodoru?
5. Rozwiązać równanie Schr¨dingera dla cząstki swobodnej o masie
M
poruszającej się
o
w przestrzeni trójwymiarowej (we współrzędnych kartezjańskich; przedyskutować
szczególne rozwiązanie w postaci fali płaskiej).
ˆ
6.
ψ
1
i
ψ
2
są różnymi funkcjami własnymi operatora liniowego
F
. Odpowiadają one
wartościom własnym
f
1
i
f
2
.
α
i
β
są stałymi. Czy funkcje
αψ
1
,
βψ
1
+
αψ
2
,
ψ
1
+
ψ
2
,
ψ
1
+
β
i
ψ
1
ψ
2
ˆ
są funkcjami własnymi operatora
F
? Jeśli tak, to do jakich wartości własnych? Jeśli
nie, to jakie dodatkowe warunki muszą być spełnione, aby były funkcjami własnymi?
7. Funkcje
φ
1
i
φ
2
są unormowane, a ich całka nakrywania (iloczyn skalarny) jest równa
1
. Unormować funkcję Φ =
φ
1
−
φ
2
.
2
1
8. Funkcje
ψ
1
,
ψ
2
i
ψ
3
są unormowanymi funkcjami własnymi hermitowskiego operatora
ˆ
G
do różnych wartości własnych
g
1
,
g
2
i
g
3
. Unormować funkcję Ψ = 2ψ
1
+
ψ
2
−
ψ
3
.
ˆ
Obliczyć wartość oczekiwaną operatora
G
w stanie opisanym przez Ψ.
ˆ
ˆ
9. Operator
A
jest hermitowski. Kiedy
αA
jest hermitowski, a kiedy nie? (α jest stałą).
10. Kiedy złożenie (iloczyn) dwóch operatorów hermitowskich jest również operatorem
hermitowskim?
11. Udowodnić, że
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
A, αB
+
β C
=
α A, B
+
β A, C
 
 
 
 
 
 
ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
A, B C
=
B A, C
+
A, B C
ˆ ˆ ˆ
A, B, C
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
+
B, C, A
+
C, A, B
=0
12. Obliczyć komutatory:
ˆ ˆ
ˆ ˆ
r
k
, L
l
,
p
k
, L
l
,
L
k
, L
l
,
L
2
, L
j
,
ˆ ˆ
ˆ ˆ
ˆ
V
(r),
p
j
,
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
H, L
j
,
H
jest hamiltonianem dla cząstki w polu sferycznie symetrycznym
(V (r) =
V
(r)).
Wskaźniki
j, l
i
k
indeksują składowe
x, y
i
z
odpowiednich wektorów.
ˆ ˆ
ˆ ˆ
13.
A
i
B
są operatorami hermitowskimi. Sprawdzić, czy ich komutator [
A, B]
jest her-
ˆ ˆ
mitowski, czy
i[A, B]
jest hermitowski.
14. Pokazać, że wartość oczekiwana operatora hermitowskiego jest rzeczywista.
15. Obliczyć wartości oczekiwane oraz wariancje dla położenia i pędu cząstki “żyjącej”
na prostej
x
w stanie opisanym funkcją falową
φ(x)
=
e
−(
x−c
2
) +ikx
2σ
,
gdzie
k, c
i
σ >
0 są rzeczywistymi stałymi (patrz zadanie 1). Sprawdzić, jak reali-
zowana jest w tym stanie zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu.
16. Oscylator harmoniczny (o masie
m
i stałej sprężystości
k)
jest w stanie
x
4
x
Ψ(x) =
c(
4
+ )ψ
o
(x),
α
α
gdzie
ψ
o
jest funkcją stanu podstawowego oscylatora,
C
jest stałą normalizacyjną,
h
2
¯
a
α
=
4
mk
. Jakie wyniki i z jakimi prawdopodobieństwami można otrzymać przy
pomiarze energii w tym stanie?
Wskazówka: Wyrazić
x
przez operatory
a
i
a
+
.
ˆ ˆ
2
17. Wykazać, że wartość oczekiwana pędu cząstki w stanie związanym o określonej
energii jest równa zeru.
18. Wykazać, że w stanach oscylatora harmonicznego o określonej energii wartości ocze-
kiwane energii kinetycznej i potencjalnej są sobie równe.
19. Cząstka jest zamknięta na odcinku (0,
a)
na prostej
x
(nieskończona studnia poten-
cjału). Stan cząstki w chwili początkowej opisany jest funkcją falową
2
Φ(x) =
√
a
sin
3πx
cos
πx
na odcinku (0,
a)
i Φ(x) = 0 na zewnątrz odcinka.
2a
2a
Jak ta funkcja stanu zmienia się w czasie?
 
 
 
 
Jakie wyniki i z jakim prawdopodobieństwem można uzyskać przy pomiarze
energii w tym stanie? Jak zależą one od czasu?
Jak gęstość prawdopodobieństwa zmienia się w czasie? (Obliczyć i wykreślić w
kilku kolejnych chwilach czasu).
Jak zmieniają się wartości oczekiwane położenia i pędu? Obliczyć na dwa spo-
soby: 1) wartość oczekiwaną z definicji, 2) szybkość zmian wartości oczekiwanej
wg ogólnego równania na szybkość zmian wartości średniej. Zestawić ze sobą i
przedyskutować związek pomiędzy
x
(t) z
p
(t).
¯
¯
3

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin