Zeszyt ćwiczeń
prof. Tadeusz Rzeżuchowski
1. Całka została określona jako graniczna wartość ciągu przybliżeń.
Sprecyzujmy ogólne pojęcie granicy dla ciągu liczb an. Na przykład dla ciągu an=1/n jego granicą jest 0 - te liczby an wraz ze wzrostem n są coraz mniejsze, przybliżają się do zera, choć żadna z nich nigdy nie jest równa 0.
Definicja 0.1 Liczba g nazywa się granicą ciągu an, jeśli dla dowolnej liczby ε > 0 przedział [g — ε,g+ε] zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu, to znaczy wszystkie oprócz skończonej liczby.
Mówi się wtedy też, że ciąg an jest zbieżny do liczby g, a zapisuje w taki sposób
g = limn→∞ an
a) Spróbuj zinterpretować graficznie znaczenie definicji granicy ciągu:
i. Interpretując ciąg jako kolejno pojawiające się punkty na osi liczbowej.
ii. Interpretując ciąg jako funkcję, której argumentami są liczby naturalne, a wartości leżą na prostej liczbowej. Zastanów się jaki charakter ma wykres tej funkcji, jeśli ciąg jest zbieżny.
b) Podaj przykład ciągu, który nie ma granicy.
c) Zastanów się, czy jeśli ciąg an jest zbieżny do liczby g i dla pewnej liczby ε > 0 jakiś wyraz tego ciągu należy do przedziału [g —ε ,g + ε], to wszystkie następne wyrazy też muszą do tego przedziału należeć.
d) Zastanów się, czy zaprzeczeniem stwierdzenia, że ciąg an jest zbieżny do liczby g jest zdanie, że ciąg an jest zbieżny do liczby różnej od g.
e) Spróbuj uzasadnić, że jeśli ciąg an jest zbieżny do a, ciąg bn jest zbieżny do b, to ciąg an + bn jest zbieżny do a + b.
f) Spróbuj uzasadnić stwierdzenie, że jeśli ciąg an + bn jest zbieżny, to ciągi an i bn niekoniecznie są zbieżne.
2. Zastanów się jak można zdefiniować zbieżność ciągu do +∞. A jak zbieżność do -∞?
a) Zastanów się czy zaprzeczeniem zdania „Ciąg jest zbieżny do +∞" jest zdanie „Ciąg jest zbieżny do -∞"
b) Jak uzasadnić, że jeśli ciąg jest zbieżny do +∞, to ciąg odwrotności wyrazów tego ciągu jest zbieżny do 0?
c) Czy jest prawdziwe, że jeśli wyrazy ciągu są różne od zera i ciąg ten jest zbieżny do 0, to ciąg odwrotności jest zbieżny do +∞?
3. Dodawanie nieskończenie wielu liczb u1,u2,u3, ... polega na tym, że tworzy się coraz dłuższe sumy
i jeśli ciąg tych sum S1, S2, S3, . . . ma granicę, to tę granicę uważamy za sumę
wszystkich liczb.
Mówi się też, że jest to suma szeregu o wyrazach u1, u2, u3, . . . .
(a) Uzasadnij, że suma liczb
istnieje i podaj jej wartość.
Wskazówka. Spróbuj rozłożyć ułamek frac1n · (n + 1) na różnicę dwóch ułamków
i znajdź prosta reprezentacje skończonej sumy początkowych wyrazów.
(b) Uzasadnij, że suma
jest nieskończona (suma odwrotności kolejnych liczb naturalnych.
Wskazówka. Uzasadnij nierówność
i wykorzystaj ją grupując wyrazy badanej sumy w taki sposób.
(c) Znajdź dziedzinę funkcji określonej w następujący sposób
f(x) = 1 + x + x2 + x3 + . . .
Jakim wzorem można tę funkcję opisać?
Czy naturalna dziedzina funkcji danej tym wzorem jest taka sama jak dziedzina
funkcji f?
(d) Dla x Î (−1, +1) znajdź wzór na sumę
czyli
x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + . . .
Wskazówka. Skorzystaj z takiej formy przedstawienia tej sumy
i wyznacz najpierw sumy w kolumnach.
4. Tak zwana funkcja Dirichleta jest określona w następujący sposób
Zastanów się dlaczego ta funkcja nie może mieć całki na żadnym przedziale [a, b].
5. Stwierdzanie równoliczności dwóch zbiorów A, B, czyli łączenie ich elementów w pary, można interpretować jako określanie odwzorowania
Zastanów się jakie własności ma to odwzorowanie.
6. Zastanów się jak uzasadnić, że jeśli zbiór A jest równoliczny ze zbiorem B, a zbiór B jest równoliczny ze zbiorem C, to zbiór A jest równoliczny ze zbiorem C.
7. Zastanów się jak uzasadnić, że jeśli każdy ze zbiorów An jest skończony, to zbiór
do którego należą wszystkie punkty należące do chociaż jednego ze zbiorów An, jest przeliczalny lub skończony.
Czy rzeczywiście może się zdarzyć, że jest on skończony?
8. Zastanów się jak uzasadnić, że zbiór punktów sześcianu jest równoliczny ze zbiorem punktów dowolnej ze swoich krawędzi.
Wskazówka. Spróbuj podobnego sposobu jak przy dowodzeniu równoliczności kwadratu i boku.
Projekt współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki
4
napomoc