Rachunek rożniczkowy 1 2017.pdf

(74 KB) Pobierz
1. Rozwiąż równania i nierówności:
x
4
−
3x
2
−
4
>
0
−x
3
+ 2x
2
+ 5x
−
6 0
2x
−
3
2
4
−
x
√
√
3x + 1
−
x
−
1 = 2
3 + 2x
−
x
2
> x
−
1
2
x+1
−
3
x
<
2
x−1
√
√
log
x
−
5 + log 2x
−
3 + 1 = log30
log
3
x
+ log
√
3
x
+ log
1
x
= 6
3
2
4 cos
2
x+1
+ 16
·
2
4 sin
x−3
= 20
4
log
sin
x
( ) =
−2
3
2
2
log
3
[sin(2x) + sin
2
(2x) +
· · ·
]
>
0
|3x
+ 4| + 2
<
2x
1
|3 −
log
2
x| <
1
2. Dane są zbiory:
A
=
{x
:
x
3
+
x
+ 6
3. Wiedząc, że tgx =
√
4x
2
}
i
B
=
{x
:
|
2x−3
|
<
2}. Wyznacz
A
∪
B, A
∩
B, A
\
B, B
\
A.
x−1
2 oraz
x
∈
(π,
3
π)
wyznacz sin
x,
cos
x,
ctgx.
2
log
1
x
2
x
,
−1
2
√
4. Wyznacz dziedzinę funkcji: a)
f
(x) =
d)
t(x)
= arccos(1
−
x
2
).
√
b)
g(x)
=
√
|sinx| −
3
2
,
2x
c)
h(x)
= arcsin
1+x
,
5. Oblicz: a) arccos(−
3
2
),
b) arctg(tg(
2
π),
3
π
3
,
c) arcsin(−
2
2
).
6. Rozwiąż równania: a) arcsinx =
b) arccosx =
−
π
,
4
c) tg(2arctg3x) =
√
3
d) tg(
1
arctgx) =
2
√
3.
7. Metodą indukcji matematycznej udowodnij, że dla każdego naturalnego
n:
a) zachodzi równość
1
1·2
+
1
2·3
+
···
+
1
n·(n+1)
=
n
n+1
b) dla każdego
x >
−1
zachodzi nierówność Bernoulli’ego (1 +
x)
n
c) 11
n+2
+ 12
2n+1
dzieli się przez 133.
8. Sprawdź, czy ciąg
a
n
=
9. Oblicz granice ciągów:
a
n
=
2
n
n!
1 +
nx,
jest monotoniczny i ograniczony.
1
−
2 + 3
−
4 + 5
−
6
· · · −
2n
√
n
2
+ 1
b
n
=
4
·
3
n+1
+ 2
·
4
n
5
·
2
n
+ 4
n+2
√
n
2
+ 5
−
n
c
n
=
√
n
2
+ 2
−
n
3
d
n
=
n(
n
n
3
+
n
−
n)
(−1)
n
e
n
=
+ 2n
n
1
2
n
f
n
=
2
+
2
+
···
+
2
n
+1
n
+2
n
+
n
n
+1
n
g
n
= (
)
n
+2
1
ln(2
n
+
e
n
)
n
n
nπ
i
n
=
cos
n
+1
2
h
n
=
j
n
=
n
2
2
n
1
10. Udowodnij, że dla każdego naturalnego
n
zachodzi nierówność (1 +
n
)
n
<
3.
1
11. Pokaż , że ciąg
a
n
= (1 +
n
)
n
jest rosnący.
a
n
12. Oblicz granicę ciągu rekurencyjnego:
a
1
= 2,
a
n+1
=
1+a
n
.
Wsk. Wyznacz wzór jawny na
a
n
i udowodnij metodą indukcji jego poprawność.
13. Pokaż, że ciąg rekurencyjny:
a
1
=
1
,
a
n+1
=
4
1
4
+
1
a
2
jest zbieżny i oblicz jego granicę.
2
n
1
a
n
)
1
14. Pokaż, że ciąg rekurencyjny:
a
1
= 2,
a
n+1
=
2
(a
n
+
jest zbieżny i oblicz jego granicę.
1
15. Wyznacz granice dolną i górną ciągu
a
n
= (1 +
n
)
n
(−1)
n
+ sin
nπ
.
4
16. Oblicz granice funkcji (nie korzystając z reguły de l’Hospitala):
x
4
+ 3x
2
−
4
x→−1
x
+1
lim
lim
π
cos 2x
sin
x
−
cos
x
1
x
x→
4
x→∞
lim
x
·
sin
x→∞
lim
√
√
√
x
sin(
x
+ 1
−
x)
lim
e
−
x
3x
−
1
2x−5
)
3x + 1
1
x→0
x→∞
lim (
arcsin(x + 2)
x→−2
x
2
+ 2x
lim
x→∞
lim sin
x
x
0
sin
x,
2
x
−
x ,
0
<x<
1
17. Narysuj wykres oraz zbadaj ciągłość w całej dziedzinie funkcji
f
(x) =
ln
x,
x
1.
√
18. Dla jakiej wartości parametru
a
funkcja
f
(x) =
19. Oblicz pochodne funkcji:
1+x−1
,
x
a,
x
=0
jest ciągła w całej dziedzinie?
x
=0
f
(x) = (4x
3
−
2x + 5)e
x
√
4
f
(x) = 2
3
x
−
4
x
ln
x
f
(x) =
1 +
x
2
f
(x) =
x
·
arcsinx +
1
−
x
2
1
f
(x) = arcsin( )
x
f
(x) =
e
sin
x
2
f
(x) = (cos
x)
sin
x
f
(x) =
x
x
20. Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie funkcji
f
(x) =
Czy
f
∈
C
1
(R)?
21. Dla jakich wartości parametrów
a, b, c
funkcja
f
(x) =
jest różniczkowalna w całej dziedzinie?
x
3
sin
π
, x
= 0
x
spełnia założenia twierdzenia Rolle’a na przedziale [−1, 1] i jeśli
22. Sprawdź, czy funkcja
f
(x) =
0,
x
=0
tak, to znajdź punkt z tezy tego twierdzenia.
23. Zastosuj twierdzenie Lagrange’a do funkcji
f
(x) =
x
3
+
x
na przedziale [−1, 1] i wyznacz punkt z tezy tego twier-
dzenia.
24. Oblicz granice funkcji:
x
−
sin
x
x→0
x
3
tgx
−
x
lim
x→0
x
−
sin
x
lim
x
·
lnx
lim
x→0
+
x→∞
x
1
x
2
·
arctg
x
, x
= 0
0,
x
= 0.
sin
x,
x <
0,
ax
+
bx
+
c, x
0.
2
lim (π
−
2arctgx)lnx
lim (
1
1
−
)
sin
x x
lim
x
x
x→0
x→0
+
xctgx
−
1
x→0
x
2
1
lim (ln )
x
x
x→0
+
arcsinx
12
lim (
)
x
x→0
x
25. Zbadaj różniczkowalność w całej dziedzinie funkcji
f
z zad. 17.
lim
1
26. Sprawdź dla jakich
x
zachodzi równość arctgx = arcctg
x
.
27. Wyznacz ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji: a)
f
(x) = 4x
2
−
10x + 5arctg2x,
2
c)
h(x)
= 3 cos 2x + cos
2
x
+ 4x, d)
t(x)
= arccos(
1−x
2
).
1+x
b)
g(x)
=
x
x
,
2
28. Wyznacz wartość najwiekszą i najmniejszą funkcji
f
(x) = 1
− |9 −
x
2
|
osiąganą na przedziale [−5, 1].
29. Wyznacz przedziały wklęsłości i wypukłości oraz punkty przegięcia funkcji
30. Sprawdź, że dla każdego
x
zachodzi nierówność
2xarctgx
ln(1 +
x
2
).
f
(x) =
lnx
√
.
x
31. a) Pokaż, że dla każdego
x >
0 zachodzi nierówność
ln(1 +
x) < x.
1
2
n
)
1
b) Pokaż, że ciąg o wyrazie
a
n
= (1 +
2
)(1 +
1
)(1 +
1
)
·
. . .
·
(1 +
4
8
jest zbieżny.
32. Pokaż, że
a−b
a
<
ln
a
<
b
a−b
b
jeśli 0
< b < a
b)
g(x)
=
x
√
.
x+2 x
2
−1
2x
33. Wyznacz wszystkie asymptoty funkcji: a)
f
(x) =
x
ln(
x−2
),
34. Zbadaj przebieg zmienności funkcji: a)
f
(x) =
|x|e
−x
,
2
√
b)
g(x)
= 2
x
−
ln
x.
3
35. Znajdź wymiary walca o największej objętości wpisanego w kulę o promieniu R.
36. Napisz wzór Maclaurina rzędu
n
= 4 dla funkcji
f
(x) =
x
3
−
2x
2
+ 3x
−
4.
37. a) Korzystając ze wzoru Taylora pokaż, że dla każdego
x
zachodzi nierówność
b) Czy dla każdego
x
prawdziwa jest nierówność
e
x
38. Oszacuj dokładność wzoru przybliżonego
√
1+
x
+
x
2
x
2
2
?
e
x
1+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
.
1+
x
∼
1+
=
−
x
2
8
dla
|x|
0, 25.
39. Stosując wzór Maclaurina oblicz ln(1, 1) z dokładnością do 10
−3
.
4

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin