1D
Stosuje się ciąg Pascala (1,x,x2,x3,…)
UxA-A=a1+a2x+a3x2+a4x3
εxA-A=dUxA-A/dx=a2+2a3x+3a4x2
2D
Wielomian zbudowany na podstawie dwuwymiarowego ciągu zwanego Trójkątem Pascala
1 – funkcje stałe
x y – f. liniowe
x2 xy y2 – f. kwadratowe
x3 x2y xy2 y3 – f. sześcienne
x4 x3y x2y2 xy3 y4 – f. do czwartej
x5 x4y x3y x2y2 xy3 xy4 y5 – f. do piatej
Należy przy tym zwrócić uwagę, aby wielomiany nie zawierały składników uprzywilejowanych, czyli aby były geometrycznie izotropowe.
3D
Funkcje kształtu dobierane są na podstawie Trójwymiarowego ciągu Pascala
CAD – komputerowe wspomaganie projektowania
-Modelowanie, Optymalizacja, Systemy doradcze,
- zarządzanie danymi,
- bazy danych,
- koncepcja,
- konsultacja, -
gospodarka materiałowa,
- logika projektowania,
- dokumentacja konstrukcji
- Obliczenia inżynierskie
→Metody numeryczne: →MES, MEB… i →Symulacje i animacje pracy
→Metody analityczne ‘klasyczne’
Dyskretyzacja zasady
- model dyskretny musi opisywać dokładnie postać geometryczną dyskretyzowanego modelu
- węzły (?korby? konstrukcyjne muszą mieć dostatecznie gęstą siatkę podziału)
Elementy skończone (klasyfikacja – kryteria)
- wymiar elementu (1,2,3D)
- kształt geometryczny
- stopień ?wielomianu? przyjętej funkcji kształtu
- liczba węzłów
- ze względu na nałożone więzy (cięgnowy – 2 więzy, prętowy, belkowy)
Elementy skończone (kształt geometryczny):
Płaskie
- punktowe, odcinkowe, trójkątne, czworokątne, wielokątne
Przestrzenne:
- czterościenne, pięciościenne, prostopadłościenne, osiowosymetryczne
Element tarczowy:
{F}el.=[k]·{V}el.
CST- stałe odkształcenie. Liniowa funkcja kształtu
(2D) – ciąg Pascala
funkcje kształtu dla trójkątnego elementu
Ux1=a1+a2x+a3y
Uy=a4+a5x+a6y
{Ux Uy} = [A] · {a}
┌ 1xy000 ┐
A= │ │
└ 0001xy ┘
Ux1=a1+a2x1+a3y1
Uy1=a4+a5x1+a6y1
Ux2=a1+a2x2+a3y2
Uy2=a4+a5x2+a6y2
Ux3=a1+a2x3+a3y3
Uy3=a4+a5x3+a6y3
{V}el.=[C] ·{a}
{a}=[C]-1·{V}el.
{Ux, Uy}=[A][C]-1·{V}el.
Płaski stan odkształcenia (PSO)
{ε x } = dUx/dx
{ε}= {ε y } = dUy/Dy
{γxy} = dUx/dy +dUy/dx
LST – Liniowe odkształcenie kwadratowe funkcji kształtu
zwiększenie dokładności – większa liczba węzłów
Ux=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2
Uy=a7+a8x+a9y+a10x2+a11xy+a12y2
εx=a2+2a4x+a5y
εy=a9+a11x+2a12y
FEM – metoda elementów skończonych (1956 r. prof. Turner)
„Ojciec „ FEM prof. Zienkiewicz (wydał książkę „Metoda elementów skończonych”)
FEM dla różnych zagadnień powierzchniowych
FEM w mechanice strukturalnej
(np. Szmelter 1969, Zienkiewicz 1967,)
FEM ujęcie wariancyjne? FEM ujęcie macierzowe, ujęcie lokalne,
podstawy FEM (Turner i inni 1956) Metoda bezpośredniej sztywności
FEM (4etapy)
1. *Wybór typu funkcji na którym bazować będzie model MES
a) – reprezentacja przemieszczeniowa
- reprezentacja naprężeniowa
- reprezentacja hybrydowa
b) – w ujęciu energetycznym
- w ujęciu wariacyjnym
* dyskretyzacja obszaru, tj. podział modelu na elementy skończone
2. *wybór położenia węzłów i liczby współrzędnych uogólnionych
* wybór funkcji aproksymacji (kształtu) w elementach
* obliczenie macierzy elementu [k], [m], [c]…
3. Agregacja macierzy elementów:
* budowa globalnej macierzy [K], [M], [C]…
* budowa wektora obciążenia [R], [R(t)]…
* wprowadzenie kinematycznych warunków brzegowych
4. Rozwiązywanie układu równań:
* statyka konstrukcji [K]{r}={R}
* dynamika (równanie ruchu)
* zagadnienia sprężysto – plastyczne
([K] – [Kp])Δ{r}=Δ{R}
* nieliniowości geometryczne
([K] – λ[KE])d{r}=0
Funkcje kształtu
Najczęściej stosowanymi funkcjami elementów są wielomiany budowane na podstawie:
- ciągów Pascala
- wielomianów Lagrange’a
- wielomianów Hermite’a
rollo13