Funkcja wiodąca (skumulowana intensywność uszkodzeń)

Można ją interpretować jako miarę wyczerpywania się „zapasu niezawodności obiektu”.

dla rozkładu wykładniczego:     

dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Oczekiwany pozostały czas zdatności

jest to warunkowa wartość oczekiwana pozostałego czasu zdatności T-t

pod warunkiem, że w chwili t obiekt jest zdatny.

Dla odpowiednio dużych wartości argumentu t wartość funkcji r(t) ulega niewielkim zmianom i dąży do

Dla rozkładu wykładniczego:

Dla rozkładu jednostajnego w przedziale od 0 do b:

Niezawodność obiektów naprawialnych (odnawialnych)

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1)         czas naprawy (odnowy) jest bardzo mały w stosunku do czasu życia elementu.

2)         Mówimy wówczas, że odnowa jest natychmiastowa (czas jej trwania=0)

3)         czas naprawy (odnowy) posiada pewną skończoną wartość i nie jest pomijalny.

ad. 1.

Chwile uszkodzeń (odnowień) obiektu są następujące:

Chwile uszkodzeń (odnowień) przedstawiają strumień losowy, który nazywamy strumieniem odnowy.

    Zakładamy, że:

1) proces taki powtarza się nieograniczenie,

2) są zmiennymi losowymi niezależnymi o takim

samym rozkładzie prawdopodobieństwa określonym dystrybuantą ,   

              i dla wszystkich są jednakowe i wynoszą:

,

Niech N(t) będzie zmienną losową określającą liczbę uszkodzeń (odnowień) powstałych do chwili t.

Dystrybuantę można wyznaczyć dla dowolnego n:

Nie wystarczy wiedzieć jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia n uszkodzeń (odnowień).

Równie ważną informacją jest oczekiwana liczba tych zdarzeń . Wielkość ta jest funkcją czasu określoną dla

oznaczaną i nazywaną funkcją odnowy (naprawy).

W praktyce często posługujemy się pochodna funkcji odnowy i nazywamy ja gęstością odnowy.

Funkcję odnowy można wyznaczyć inaczej:

ale        i       

spełnia powyższe równanie całkowe. Równanie to nosi nazwę równania odnowy (odnowienia).

Funkcję wykorzystuje się do wyznaczenia oczekiwanej liczby uszkodzeń w dowolnym przedziale czasu , wynosi ona .

Badając proces odnowy przy   korzysta się z następujących twierdzeń:

Twierdzenie 1  (elementarne twierdzenie odnowy).

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o dystrybuancie i skończonej wartości oczekiwanej , to

Oznacza to, że oczekiwana liczba odnowień w jednostce czasu dąży do odwrotności średniego czasu życia obiektu, czyli średni odstęp miedzy uszkodzeniami jest równy średniemu czasowi życia obiektu.

Twierdzenie 2  (Blackwella)

Jeśli czas życia obiektu jest zmienną losowa typu ciągłego
o skończonej wartości oczekiwanej to dla zachodzi:

Oznacza to, ze po upływie długiego czasu liczba uszkodzeń
w przedziale o długości α zależy tylko od długości przedziału i średniego czasu życia obiektu.

Twierdzenie 3 (Smitha)

Jeżeli czas życia obiektu jest zmienną losową o skończonej wartości oczekiwanej oraz wariancji , to

stąd wzór przybliżony:

WYMIANA  W  USTALONYM  WIEKU

;    

gdzie:

- prawdopodobieństwo, że obiekt wymieniany
profilaktycznie w ustalonym czasie (co stały okres w) nie uszkodzi się do chwili t,

- prawdopodobieństwo, że obiekt nie uszkodzi się w kolejnych przedziałach czasu o długości w,

prawdopodobieństwo, że obiekt

nie uszkodzi się
w przedziale ;

- oczekiwany czas do uszkodzenia

obiektu;

C(w) – jednostkowy koszt utrzymania obiektu

a – koszt wymiany profilaktycznej

b – koszt naprawy

Zakładamy, że  a < b

E(Tu) – oczekiwany czas użytkowania obiektu (do uszkodzenia
lub wymiany)

1.          Rozpatrzmy obiekt techniczny składający się z n elementów składowych.

2.          Załóżmy, że elementy są jednakowe w sensie ich niezawodności

3.          Struktura niezawodnościowa obiektu jest szeregowa. 

Funkcja niezawodności obiektu do chwili wykonania naprawy jest opisana zależnością:

gdzie:  - funkcja niezawodności elementu

Jeżeli naprawa wykonana w chwili t polegała na wymianie k spośród n elementów składowych to funkcja niezawodności obiektu po naprawie wynosi:

Można też współczynnik a przedstawić z wykorzystaniem funkcji wiodących rozkładów

1