Zauwazmy, ze w podanym twierdzeniu podane zalozenia sa nieco mocniejsze niz odpowiednie zalozenia twierdzenia Lagrange'a, poniewaz tutaj zakladamy nie tylko istnienie pochodnych czastkowych, ale takze ich ciaglosc. Bez zalozenia ciaglosci pochodnych czastkowych wzor podobny do wzoru (1.11.1) jest prawdziwy, jednak z ta roznica, ze punkty posrednie, w ktorych oblicza sie pochodne czstkowe, nie musza byc te ame oraz nie musza nawet lezec na odcinku laczacym punkty ($x_1 , y_1$) i ($x_2 , y_2$).
\indent Interpretacja geometryczna wzoru (1.11.1) jest nastepujaca: Jezeli wezmiemy dwa punkty $M_1(x_1 , y_1 , z_1) oraz M_2(x_2 , y_2 , z_2)$ lezace na powierzchni z=\,f\,(x , y) jest rownolegla do siecznej $M_1M_2 (rys. 1.16).
\indent Jezeli teraz uzyjemy troche innych oznaczen, mianowicie zamiast $(x_1, y_1)$ napiszemy odpowiednio (x, y), a zamiast $(x_2, y_2)$ napiszemy (x+dx, y++dy), gdzie dx i dy oznaczaja odpowiednio przyrosty zmiennej x i zmiennej y, to wzor (1.11.1) przybierze postac
$$ f(x+dx, y+dy)-f(x, y)=f'_x(x_0, y_0)\,dx+f'_y(x_0, y_0)\,dy,$$
gdzie $x_0=x+\Theta dx, y_0=y+\Theta dy \quad (0<\Theta<1)$.
\indent Przyrost funkcji nie jest na ogol wyrazeniem liniowym wzgledem przyrostow zmiennych niezaleznych; jednak w wielu przypadkach mozemy go dla malych przyrostow argumentow zastapic z dosc duza dokladnoscia przez wyrazenie liniowe. Wlasnie pojecie rozniczki funkcji ciaglej f wiaze sie z istnieniem takiej funkcji liniowej D wzgledem przyrostow zmiennych niezaleznych, ktora aproksymuje przyrost funkcji f w ten sposob, ze iloraz roznicy $\Delta$ f-D przez odleglosc punktow wyznaczajacych ten przyrost dazy do zera, gdy odleglosc tych punktow dazy do zera. Jezeli taka funkcja (forma) liniowa D wzgledem przyrostow zmiennych niezleznych istnieje, to nazywamy ja rozniczka zupelna funkcji f.
\indent Dla lepszej ilustracji rozwazmy najpierw funkcje jednej zmiennej y=f(x) (por. Tez I, \S 6.1). Zgodnie z tym, co zostalo powiedziane, warunek istnienia rozniczki funkcji f w punkcie $x=x_0$ polega na istnieniu takiej stalej A, ze:
$$\lim_{|dx|\to 0}\frac{\Delta f-A/,dx}{|dx|} =0, gdzie \Deltaf= f(x_0+dx)-f(x_0).$$
Widzimy od razu, ze warunek (1.11.3) jest rownowazny warunkowi $A=f'(x_0).$ A wiec funkcja jednej zmiennej f(x) ma rozniczke (zupelna) w punkcie x_0 wtedu i tylko wtedy, gdy istnieje pochodna $ f'(x_0)$, i wowczas rozniczka funkcji (w tym punkcie) rowna sie
$$D(dx)= f'(x_0)\,dx.$$
\indent Przypuśćmy teraz, ze mamy funkcje dwoch zmiennych u= f(x,y). Funkcja ta bedzie miala rozniczke zupelna w punkcie P_0(x_0,y_0), jezeli beda istnialy takie stale, ze A, B, ze
$$\lim_{|PP_0|\to 0}\frac{\Delta f-(A\,dx+B\,dy)}{|PP_0|} =0,
gdzie |PP_0|=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}, \Deltaf= f(x_0+dx, y_0+dy)-f(x_0,y_0).$$
Latwo zauwazyc przyjmujac dy=0, a nastepnie dx=0, ze jezeli warunek (1.11.5) jest spelniony, to istnieja pochodne czastkowe $f'_x(x_0,y_0), f'_y(x_0, y_0)$ oraz
$$A=f'_x(x_0, y_0), B=f'_y(x_0, y_0).$$
\indent Wnioskowanie odwrotne nie jest jednak prawdziwe. Zobaczmy to na przykładzie funkcji
$$\begin{equation} g(x,y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{xy}{x^2+y^2}&\textrm{dla}&(x,y)\neq(0, 0), \\[13pt]0&\textrm{dla}&x=y=0.\end{array}\right.\end{equation}$$
\indent Funkcja g(x, y), jak widac z powyzszego, jest okreslona na calej plaszczyznie. Wzdluz obu osi wspolrzednych funkcja ta rowna sie stale zeru, wobec tego dla dowolnych x i y mamy $g'_x(x, 0), g'_y(0, y)=0$, wiec w szczegolnosci
$g'_x(0, 0), g'_y(0, 0)=0$,
a wobec tego rozniczka funkcji g w punkcie (0, 0) bylaby postaci
$$D(dx, dy)=0.$$
Tymczasem przyrost funkcji w punkcie (0 , 0) jest nastepujacy:
$$ \Delta g=g(dx, dy)-g(0,0)=\frac{dx\,dy}{(dx)^2+(dy)^2}.$$
Poniewaz |PP_0|=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}, wiec warunek (1.11.5) w naszym przypadku wyglada nastepujaco:
$$\lim_{|PP_0|\to 0}\frac{dx\,dy}{((dx)^2+(dy)^2)^{3/2}}=0.$$
Rozumujac analogicznie jak w zadaniu 1.8 (str. 18), mozna wykazac, ze nie tylko granica stojaca po lewej stronie rownosci (1.11.9) nie istnieje, ale ze wyrazenie stojace pod znakiem ranicy w dowolnym otoczeniu punktu dx=dy=0 przybiera dowolnie duze wartosci.
\indent Jak wynika rowniez z zadania 1.8, funkcja (1.11.7) jest nieciagla w punkcie (0,0)
wprost z definicji, ma w punkcie (0, 0) pochodna w dowolnym kierunku.
\indent Mówimy, ze funkcja f(x,y) okreslona w otoczeniu punktu $P_0(x_0, y_0)$ ma w tym punkcie rozniczke zupelna w sensie Stolza Adx+Bdy, jezeli jest spelnony warunek (1.11.5).
\indent Poniewaz z warunku (1.11.5) wynikaja rownosci (1.11.6) niekiedy w literaturze rozniczka zupelna funkcji f(x, y) w punkcie $P_0(x_0, y_0)$ nazywa sie wyrazenie liniowe postaci
f'_x(x_0, y_0)\,dx+f'_y(x_0, y_0)\,dy ,
przy jednym warunku, ze pochodne czastkowe wystepujace we wzorze (1.11.10) istnieja. Przy takiej jednak definicji rozniczka zupelna nie musi byc, jak to widzielismy na przykladzie funkcji (1.11.7), przyblizeniem liniowym przyrostu \Deltaf= f(x_0+dx, y_0+dy)-f( x_0, y_0).
\indent Rozniczke zupelna fnkcji f(x, y) w punkcie $(x_0, y_0)$ oznaczamy symbolami
$df, df( x_0, y_0), (df)_{( x_0, y_0)}.$
\indent Ważne praktycznie znaczenie ma nastepujace twierdzenie:
(1.11.11) \indent Jezeli funkcja f(x, y) jest w pewnym otoczeniu punktu $(x_0, y_0)$ klasy $C^1$, to jest spelniony warunek (1.11.5), a zatem forma liniowa (1.11.10) jest rozniczka zupelna w sensie Stolza, czyli jest liniowa czescia przyrostu $\Delta f.
\indent Nalezy pamietac, ze rozniczka zupelna funkcji f(x, y) jest funkcja liniowa przyrostow dx, dy, natomiast sam punkt (x, y) jest ustalony.
\indent Z punktu widzenia geometrycznego, rozniczka zupelna funkcji dwoch zmiennych z=f(x, y) w punkcie $(x_0, y_0)$ wyraza przyrost $\Delta z$ wzdluz plaszczyzny stycznej w punkcie $(x_0, y_0, z_0)$, gdzie $z_0=f(x_0, y_0)$ do powierzchni z=f(x, y).
\indent Analogicznie wprowadza sie pojecie rozniczki zupelnej (rozniczki zupelnej w sensie Stolza) dla funkcji p zmiennych $f(x_1, x_2, ..., x_p)$.
\indent ZADANIE 1.79 Obliczyc, jaki popelniamy maksymalny blad bezwzgledny oraz wzgledny przy obliczaniu objetosci prostopadloscianu o krawedziach wyznaczonych z podana dokladnoscia: $x=4,1\pm0,1, y=3,2\pm0,1, z=8,4\pm0,2.$
ROZWIAZANIE. Aby wyznaczyc wartosc funkcji f(x, y, z) w pewnym punkcie (x+dx, y+dy, z+dz), korzstamy ze wzoru
$$f( x+dx, y+dy, z+dz)\approxf(x, y, z)+df,$$
gdzie dx, dy, dz sa przyrostami odpowiednio zmiennych x, y, z. Niech beda dane pewne maksymalne oszacowania tych przyrostow:
$$|dx|\leM_1, |dy|\leM_2, |dz|\leM_3.$$
Wowczas mozna oszacowac z gory modul roznicy $\Deltaf=f(x+dx, y+dy, z+dz)-f(x, y, z).
Korzystajac ze zwiazku
$$\Delta f\approx df=\frac{\indenttial f}{\indenttial x}dx+\frac{\indenttial f}{\indenttial y}dy+\frac{\indenttial f}{\indenttial z}dz,$$
otrzymujemy oszacowanie
$$|\Delta f|\le \left\| \frac{\indenttial f}{\indenttial x}dx \right\| M_1+\left\| \frac{\indenttial f}{\indenttial y}dy \right\| M_2+\left\| \frac{\indenttial f}{\indenttial z}dz \right\| M_3.$$
Powyzszy wzor daje nam oszacowanie bledu bezwzglednego, jaki popelniamy, jezeli zastepujemy rzeczywista wartosc funkcji f wzieta w nieznanym nam dokladnie punkcie ( x+dx, y+dy, z+dz) przez wartosc funkcji w znanym nam punkcie (x, y, z).
\indent W naszym przypadku fnkcji f(x, y, z)=xyz mamy
$$x=4,1 , |dx|\le 0,1 , y=3,2 , |dy|\le 0,1 , z=8,4 , |dz|\le 0,2.$$
Obliczamy rozniczke zupelna
$$df=yzdx+xzdy+xydz.$$
Maksymalny blad bezwzgledny, jakie popelniamy obliczajac objetosc tego prostopadloscianu, wynosi
$$|\Delta f|\le 3,2\cdot 8,4\cdot 0,1+4,1\cdot8,4\cdot 0,1+4,1\cdot 3,2\cdot 0,2=8,756<8,8.$$
Maksymalny blad wzgledny popelniony podczas obliczen otrzymujemy dzielac maksymalny blad bezwzgledny przez wyznaczona objetosc prostopadloscianu, zatem
$$ \delta_f= \frac{|Delta f|}{v}<\frac{8,8}{110,2}\approx0,08=8%$$
\indent ZADANIE 1.80. Obliczyc przyblizona wartosc wyrazenia $(1,02)^{3,01}$.
\indent Rozwiazanie. Rozpatrzmy funkcje $f(x, y)=x^y$. Poniewaz jest spelnione zalozenie twierdzenia (1.11.11) w otoczeniu punktu (1, 3), zatem mozna przyjac, ze f(x_0+dx, y_0+dy)+df. Obliczamy rozniczke zupelna
$$df=yx^{y-1}dx...
Kometa25