3. Dyskusja średniokwadratowego błędu aproksymacji uogólnionym szeregiem Fouriera
Dla sygnału x(t) wprowadzamy skończenie wymiarową aproksymację:
gdzie: ui(t) – wybrany układ funkcji ortogonalnych
ci – współczynniki rozwinięcia
Szereg ten zapewnia najlepszą aproksymację w sensie minimum błędu średniokwadratowego, jeżeli współczynniki ci zostaną wyznaczone z wzoru na współczynniki uogólnionego szeregu Fouriera:
Więc błąd średniokwadratowy
Osiągnie minimum, jeżeli ci=ai . Przy założeniu, że ci= ai+bi błąd aproksymacji wynosi:
Po wykonaniu przekształceń algebraicznych błąd średniokwadratowy przyjmie postać:
Można więc stwierdzić, że błąd aproksymacji osiąga minimum, gdy bi=0 tzn. ci=ai wtedy błąd średniokwadratowy będzie równy:
Wynika z tego wniosek, że możemy charakteryzować sygnały przy pomocy uogólnionego szeregu Fouriera za pomocą zbioru współczynników.
Skalpel2200