far06.pdf
(
237 KB
)
Pobierz
Podró»epoImperiumLiczb
Cz¦±¢05.
FunkcjeArytmetyczne
Rozdział6
6.Sumadzielnikównaturalnych
AndrzejNowicki10maja2012,
http://www.mat.uni.torun.pl/~anow
Spistre±ci
6Sumadzielnikównaturalnych
85
6.1
Własno±ci funkcji
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
6.2
Funkcja
i splot Dirichleta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
6.3
Równanie
(
x
) =
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
6.4
Nierówno±ci z funkcj¡
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
6.5
Liczby postaci
(
n
)
−
n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
6.6
Równanie
(
n
+
k
) =
(
n
) +
k
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.7
Funkcja
i kolejne liczby naturalne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
6.8
Funkcja
i podzielno±¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
6.9
Liczby pot¦gowe postaci
(
n
) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
6.10
Liczby postaci
(
n
)
/n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
6.11
Ró»ne fakty i zadania o sumie dzielników naturalnych . . . . . . . . . . . . .
102
6.12
Funkcja
s
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
103
Wszystkie ksi¡»ki z serii ”Podró»e po Imperium Liczb” napisano w edytorze L
A
T
E
X.
Spisy tre±ci tych ksi¡»ek oraz pewne wybrane rozdziały mo»a znale¹¢ na internetowej stronie
autora:
http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow
.
6Sumadzielnikównaturalnych
Przez
(
n
) oznaczamy sum¦ wszystkich dzielników naturalnych liczby
n
. Tabela przed-
stawia liczby
(
n
) dla
n
6 320.
1
1
41
42
81
121
121
133
161
192
201
272
241
242
281
282
2
3
42
96
82
126
122
186
162
363
202
306
242
399
282
576
3
4
43
44
83
84
123
168
163
164
203
240
243
364
283
284
4
7
44
84
84
224
124
224
164
294
204
504
244
434
284
504
5
6
45
78
85
108
125
156
165
288
205
252
245
342
285
480
6
12
46
72
86
132
126
312
166
252
206
312
246
504
286
504
7
8
47
48
87
120
127
128
167
168
207
312
247
280
287
336
8
15
48
124
88
180
128
255
168
480
208
434
248
480
288
819
9
13
49
57
89
90
129
176
169
183
209
240
249
336
289
307
10
18
50
93
90
234
130
252
170
324
210
576
250
468
290
540
11
12
51
72
91
112
131
132
171
260
211
212
251
252
291
392
12
28
52
98
92
168
132
336
172
308
212
378
252
728
292
518
13
14
53
54
93
128
133
160
173
174
213
288
253
288
293
294
14
24
54
120
94
144
134
204
174
360
214
324
254
384
294
684
15
24
55
72
95
120
135
240
175
248
215
264
255
432
295
360
16
31
56
120
96
252
136
270
176
372
216
600
256
511
296
570
17
18
57
80
97
98
137
138
177
240
217
256
257
258
297
480
18
39
58
90
98
171
138
288
178
270
218
330
258
528
298
450
19
20
59
60
99
156
139
140
179
180
219
296
259
304
299
336
20
42
60
168
100
217
140
336
180
546
220
504
260
588
300
868
21
32
61
62
101
102
141
192
181
182
221
252
261
390
301
352
22
36
62
96
102
216
142
216
182
336
222
456
262
396
302
456
23
24
63
104
103
104
143
168
183
248
223
224
263
264
303
408
24
60
64
127
104
210
144
403
184
360
224
504
264
720
304
620
25
31
65
84
105
192
145
180
185
228
225
403
265
324
305
372
26
42
66
144
106
162
146
222
186
384
226
342
266
480
306
702
27
40
67
68
107
108
147
228
187
216
227
228
267
360
307
308
28
56
68
126
108
280
148
266
188
336
228
560
268
476
308
672
29
30
69
96
109
110
149
150
189
320
229
230
269
270
309
416
30
72
70
144
110
216
150
372
190
360
230
432
270
720
310
576
31
32
71
72
111
152
151
152
191
192
231
384
271
272
311
312
32
63
72
195
112
248
152
300
192
508
232
450
272
558
312
840
33
48
73
74
113
114
153
234
193
194
233
234
273
448
313
314
34
54
74
114
114
240
154
288
194
294
234
546
274
414
314
474
35
48
75
124
115
144
155
192
195
336
235
288
275
372
315
624
36
91
76
140
116
210
156
392
196
399
236
420
276
672
316
560
37
38
77
96
117
182
157
158
197
198
237
320
277
278
317
318
38
60
78
168
118
180
158
240
198
468
238
432
278
420
318
648
39
56
79
80
119
144
159
216
199
200
239
240
279
416
319
360
40
90
80
186
120
360
160
378
200
465
240
744
280
720
320
762
85
86
AndrzejNowicki,Funkcjearytmetyczne. 6.Sumadzielnikównaturalnych
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.1Własno±cifunkcji
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.1.1.
Je±lin
=
p
a
1
1
···
p
a
s
s
jestkanonicznymrozkłademliczbynaturalnejn
> 2
,to
(
n
) =
p
a
1
+
1
−
1
p
1
−
1
···
p
a
s
+
s
−
1
.
p
s
−
1
D.
Ka»dy naturalny dzielnik liczby
n
jest postaci
p
i
1
1
p
i
2
2
···
p
i
s
s
,
gdzie
i
1
= 0
,
1
,...,a
1
;
i
2
= 0
,
1
,...,a
2
;
...
;
i
s
= 0
,
1
,...,a
s
. Mamy zatem
a
X
a
X
a
X
p
i
1
1
p
i
2
2
···
p
i
s
s
(
n
)
=
···
i
1
=0
i
2
=0
i
s
=0
a
X
!
a
X
!
a
X
!
p
i
1
1
p
i
2
2
p
i
s
s
=
···
i
1
=0
i
2
=0
i
s
=0
p
a
1
+
1
−
1
p
1
−
1
···
p
a
s
+
s
−
1
=
p
s
−
1
i to ko«czy dowód.
6.1.2.
Funkcjajestmultyplikatywna.
D.
Sposób I. Niech
a,b
b¦d¡ wzgl¦dnie pierwszymi liczbami naturalnymi. Nale»y pokaza¢, »e
(
ab
) =
(
a
)
(
b
). Je±li
a
= 1 lub
b
= 1, to jest to oczywiste (gdy»
(1) = 1). Załó»my, »e
a
> 2,
b
> 2
i niech
a
=
p
a
1
1
···
p
a
s
s
,
b
=
q
b
1
1
···
q
b
t
t
b¦d¡ kanonicznymi rozkładami odpowiednio liczb
a
i
b
. Poniewa»
liczby
a
i
b
s¡ wzgl¦dnie pierwsze, zbiory
{
p
1
,...,p
s
}
,
{
q
1
,...,q
t
}
s¡ rozł¡czne. Zatem
ab
=
p
a
1
1
···
p
a
s
s
q
b
1
1
···
q
b
t
t
jest kanonicznym rozkładem liczby
ab
. Z 6.1.1 wynika wi¦c, »e
(
ab
) =
p
a
1
+
1
−
1
q
b
1
+
1
−
1
q
1
−
1
···
q
b
t
+
t
−
1
p
1
−
1
···
p
a
s
+
s
−
1
=
(
a
)
(
b
)
.
p
s
−
1
q
t
−
1
Sposób II. Wiemy (patrz Rozdział 1), »e
=
T
I
. Funkcje
I,T
s¡ oczywi±cie multyplikatywne.
Zatem
jest funkcj¡ multyplikatywn¡, gdy» splot Dirichleta funkcji multyplikatywnych jest funkcj¡
multyplikatywn¡.
6.1.3.
Je±li
(
a,b
)
>
1
,to
(
ab
)
6
=
(
a
)
(
b
)
.
([S59]230)
.
6.1.4
(L. Moser)
.
Funkcjan
7!
n
(
n
)
,niejestró»nowarto±ciowa.Przykład:
12
(12) =
14
(14)
.
([Gy04]101)
.
F L. E. Dickson,
Formulaforthesumofthedivisorsofanumber
, [Dic1] 52-54.
AndrzejNowicki,Funkcjearytmetyczne. 6.Sumadzielnikównaturalnych
87
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.2Funkcja
isplotDirichleta
oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo
6.2.1.
=
T
I
=
'
.
6.2.2.
µ
=
T.
6.2.3.
−
1
=
'
−
1
−
1
=
T
−
1
µ
(
odwrotno±ciwzgl¦demsplotuDirichleta
)
.
6.2.4.
I
=
T.
6.2.5.
T
=
T
I.
n
k
X
X
6.2.6.
(
k
) =
k.
([DoC]336)
.
k
=1
k
=1
D.
Wiemy (patrz 1.1.11), »e je±li
f
jest funkcj¡ arytmetyczn¡, to
h
n
i
i
n
X
n
X
(
f
I
)(
i
) =
f
(
i
)
.
i
=1
i
=1
h
n
k
i
h
n
k
i
n
X
n
X
n
X
n
X
Wiemy równie», »e
=
T
I
. Zatem,
k
=
T
(
k
) =
(
T
I
)(
k
) =
(
k
).
k
=1
k
=1
k
=1
k
=1
6.2.7.
X
k
|
n
µ
(
k
)
(
k
) = (
−
1)
r
q
1
···
q
r
,gdzieq
1
,...,q
r
s¡wszystkimiparamiró»nymiliczbami
pierwszymidziel¡cymin.
([DoC]380)
.
6.2.8.
Je±lif
:N
!
N
jestdowoln¡funkcj¡,to
Y
d
f
(
d
)+
f
(
n/d
)
=
n
a
,
d
|
n
gdziea
=
X
d
|
n
f
(
d
)
.
([Mon]64(1)(1957)E1217)
.
6.2.9.
Y
d
|
n
d
'
(
d
)+
'
(
n/d
)
=
n
n
.
Dowód.
Wynikatoz
6
.
2
.
8
.
([Mon]64(1)(1957)E1217)
.
6.2.10.
Y
d
|
n
d
d
+(
n/d
)
=
n
(
n
)
.
Dowód.
Wynikatoz
6
.
2
.
8
.
([Mon]64(1)(1957)E1217)
.
F L. E. Dickson,
Sumandnumberofdivisors
, [Dic1] 279-325.
Plik z chomika:
xyzgeo
Inne pliki z tego folderu:
pri03.pdf
(156 KB)
pri-toc.pdf
(108 KB)
pel07.pdf
(196 KB)
pel02.pdf
(180 KB)
pel-toc.pdf
(100 KB)
Inne foldery tego chomika:
06-DLOGLI0 Podstawy logiki i teorii mnogości (geminus)
httpalgebra.rezolwenta.eu.orgMaterialy
httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr
httpwww.fuw.edu.pl~pmajlect.php
httpwww.math.uni.wroc.pl~newelskidydaktykalogikaBlogikaB.html
Zgłoś jeśli
naruszono regulamin