pdz07.pdf

Podró»epoImperiumLiczb

Cz¦±¢06. Podzielno±¢wZbiorzeLiczb

Całkowitych

Rozdział7

7.Macierzeowspółczynnikachcałkowitych

AndrzejNowicki10maja2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow

Spistre±ci

7Macierzeowspółczynnikachcałkowitych 91

7.1Liczby D k ( A ) ................................... 91

7.2Równowa»no±¢macierzyowspółczynnikachcałkowitych............ 93

7.3Posta¢kanonicznamacierzyowspółczynnikachcałkowitych.......... 95

Wszystkieksi¡»kizserii”Podró»epoImperiumLiczb”napisanowedytorzeL A T E X.

Spisytre±citychksi¡»ekorazpewnewybranerozdziałymo»aznale¹¢nainternetowejstronie

autora: http://www-users.mat.uni.torun.pl/~anow .

7Macierzeowspółczynnikachcałkowitych

PrzezM m × n (Z)oznaczamyzbiórwszystkich m × n macierzyowspółczynnikachcałko-

witych.Je±li m = n ,topiszemyM n (Z)zamiastM n × n (Z).PrzezU n (Z)oznaczamyzbiór

wszystkichodwracalnych n × n macierzyowspółczynnikachcałkowitych.Je±li A 2 M n (Z),

to A 2 U n (Z)je±liistniejemacierz B 2 M n (Z)taka,»e AB = BA = I ,gdzie I oznacza n × n

macierzjednostkow¡.Jestoczywiste,»eje±li A 2 M n (Z),to A 2 U n (Z) () det A = ± 1.

Je±li A jest m × n macierz¡i k jestjedn¡zliczb1 , 2 ,..., min( m,n ),towyznacznikka»dej

k × k podmacierzymacierzy A nazywamy k-minorem macierzy A .

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.1Liczby D k ( A )

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Niech A 2 M m × n (Z)iniech k 2{ 1 , 2 ,..., min( m,n ) } .Przez D k ( A )oznaczamynajwi¦kszy

wspólnydzielnikwszystkich k -minorówmacierzy A .Zakładamytutaj,»eje±liwszystkieliczby

s¡równezero,toichnajwi¦kszywspólnydzielnikte»jestrównyzero.

123

456

7.1.1. NiechA =

.WtedyD 1 ( A )=1 ,D 2 ( A )=3 .

1234

5678

9101112

5 .WtedyD 1 ( A )=1 ,D 2 ( A )=4 ,D 3 ( A )=0 .

7.1.2. NiechA =

4 − 21

325

1 − 10

320

5 .WtedyD 1 ( A )=1 ,D 2 ( A )=1 ,D 3 ( A )=5 . ([Sig]368) .

7.1.3. NiechA =

Zrozwini¦ciaLaplace’awynika,»eje±li k >2,toka»dy k -minormacierzy A 2 M m × n (Z)

jestcałkowit¡kombinacj¡( k − 1)-minorówmacierzy A .St¡ddalejwynika,»eka»dy k -minor

dzielisi¦przeznajwi¦kszywspólnydzielnikwszystkich( k − 1)-minorów,czylidzielisi¦przez

D k − 1 ( A ).St¡dwoczywistysposóbotrzymujemynast¦puj¡cefakty.

7.1.4. NiechA 2 M m × n (Z) .

(1) Je±liD k ( A ) 6 =0 ,dlapewnegok >2 ,towszystkieliczbyD 1 ( A ) ,D 2 ( A ) ,...,D k ( A ) s¡

niezerowe ( czylis¡liczbaminaturalnymi ) orazD 1 ( A ) dzieliD 2 ( A ) ,D 2 ( A ) dzieliD 3 ( A ) ,...,

D k − 1 ( A ) dzieliD k ( A ) .

(2) Je±liD k ( A )=0 dlapewnegok,toD j ( A )=0 dlawszystkichj > k.

(3) Niechd = D 1 ( A ) 6 =0 .Wtedyd k dzieliD k ( A ) dlawszystkichk.

7.1.5. NiechA 2 M m × n (Z) ,B 2 M n × p (Z) .NiechC = ABiniechk >1 .Wtedyka»dyk-

minormacierzyCjestcałkowit¡kombinacj¡k-minorówmacierzyAijestrównie»całkowit¡

kombinacj¡k-minorówmacierzyB.

92 AndrzejNowicki,Podzielno±¢liczbcałkowitych. 7.Macierzeowspółczynnikachcałkowitych

D. Dla k =1fakttenjestoczywisty.Poka»emynajpierwjaktomo»naudowodni¢wprzypadku,

gdy k =2.Niech A =[ a ij ], B =[ b jr ]i C =[ c ir ].Rozpatrzmydowolny2-minormacierzy C .Zmieniaj¡c

numeracj¦wierszyikolumn,bezstratyogólno±ci,mo»emyzało»y¢,»ejesttominordotycz¡cy2 × 2

podmacierzyzgórnegolewegorogu,czyliminor c 11 c 22 − c 12 c 21 .Wtymprzypadkumamy:

c 11 c 22 − c 12 c 21 =

a 1 i b i 1

a 2 j b j 2

−

a 1 i b i 2

a 2 j b j 1

i =1

j =1

i =1

j =1

a 1 i

b i 1

a 2 j b j 2 − b i 2

a 2 j b j 1

i =1

j =1

( a 1 i b i 1 a 2 j b j 2 − a 1 i b i 2 a 2 j b j 1 )=

a 1 i a 2 j ( b i 1 b j 2 − b i 2 b j 1 )

i =1

j =1

i =1

j =1

b i 1 b i 2

b j 1 b j 2

a 1 i a 2 j

i =1

j =1

jestcałkowit¡kombinacj¡2-minorówmacierzy B .Ponadto:

c 11 c 12

c 21 c 22

Widzimywi¦c,»e2-minor

! P

c 11 c 22 − c 12 c 21 =

a 1 i b i 1

a 2 j b j 2

−

a 1 j b j 2

a 2 i b i 1

i =1

j =1

i =1

b i 1

a 1 i

a 2 j b j 2 − a 2 i

a 1 j b j 2

i =1

j =1

b i 1 b j 2 ( a 1 i a 2 j − a 2 i a 1 j )

i =1

j =1

a 1 i a 1 j

a 2 i a 2 j

b i 1 b j 2

i =1

j =1

jestrównie»całkowit¡kombinacj¡2-minorówmacierzy A .

Przedstawimyterazogólnydowóddladowolnego k .Rozpatrzmydowolny k -minor macierzy

C .Zmieniaj¡cnumeracj¦wierszyikolumn,bezstratyogólno±ci,mo»emyzało»y¢,»ejesttominor

dotycz¡cy k × k podmacierzyzgórnegolewegorogu,czyli

c 11 c 12

c 21 c 22

Zatem2-minor

c 11 ... c 1 k

. . . . . .

c k 1 ... c kk

Wtejsytuacjimamy:

= P

2 S k

( − 1) I ( ) c 1 (1) c 2 (2) ··· c k ( k )

( − 1) I ( ) P

i 1 =1

= P

2 S k

a 1 i 1 b i 1 (1)

a 2 i 2 b i 2 (2)

a ki k b i k ( k )

···

i 2 =1

i k =1

( − 1) I ( ) b i 1 (1) b i 2 (2) ··· b i k ( k )

···

a 1 i 1 a 2 i 2 ··· a ki k

i 1 =1

i 2 =1

i k =1

2 S k

AndrzejNowicki,Podzielno±¢liczbcałkowitych. 7.Macierzeowspółczynnikachcałkowitych 93

Ale

b i 1 1 b i 1 2 ... b i 1 k

b i 2 1 b i 2 2 ... b i 2 k

. . . . . . . . .

b i k 1 b i k 2 ... b i k k

( − 1) I ( ) b i 1 (1) b i 2 (2) ··· b i k ( k ) =

2 S k

Widzimywi¦c,»e jestcałkowit¡kombinacj¡ k -minorówmacierzy B .Ponadto:

= P

2 S k

( − 1) I ( ) c (1)1 c (2)2 ··· c ( k ) k

( − 1) I ( ) P

i 1 =1

= P

2 S k

a (1) i 1 b i 1 1)

a (2) i 2 b i 2 2

a ( k ) i k b i k k

···

i 2 =1

i k =1

( − 1) I ( ) a (1) i 1 a (2) i 2 ··· a ( k ) i k

···

b i 1 1 b i 2 2 ··· b i k k

i 1 =1

i 2 =1

i k =1

2 S k

Ale

a 1 i 1 a 1 i 2 ... a 1 i k

a 2 i 1 a 2 i 2 ... a 2 i k

. . . . . . . . .

a ki 1 a ki 2 ... a ki k

( − 1) I ( ) a (1) i 1 a (2) i 2 ··· a ( k ) i k =

2 S k

Zatem jestrównie»całkowit¡kombinacj¡ k -minorówmacierzy A .

Nast¦pnefaktys¡konsekwencjamifaktu7.1.5.

7.1.6. NiechA,B,Cb¦d¡macierzaminad Z takimi,»eC = AB.Wtedy,dlaka»degok,liczba

D k ( C ) jestpodzielnazarównoprzezD k ( A ) iD k ( B ) ,czylijestpodzielnaprzeznajmniejsz¡

wspóln¡wielokrotno±¢liczbD k ( A ) iD k ( B ) .

7.1.7. NiechA 2 M m × n (Z) ,Q 2 U n (Z) ,P 2 U m (Z) .Wtedy,dlaka»degok,zachodz¡

równo±ciD k ( A )= D k ( AQ )= D k ( PA ) .

D. Niech B = AQ .Zfaktu7.1.6wynika,»e D k ( A )dzieli D k ( B )Zfaktutegowynikarównie»,

»e D k ( B )dzieli D k ( A ),gdy» A = BQ − 1 .Zatem D k ( A )= D k ( B )= D k ( AQ ).Wtensamsposób

wykazujemy,»e D k ( A )= D k ( PA ).

7.1.8. Je±liQ 2 U n (Z) ,toD 1 ( Q )= D 2 ( Q )= ··· = D n ( Q )=1 .

D. Tojestoczywistewprzypadku,gdy Q = I ,gdzie I jest n × n macierz¡jednostkow¡.Poniewa»

Q = QI ,wi¦ctezawynikaz7.1.7.

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

7.2Równowa»no±¢macierzyowspółczynnikachcałkowitych

oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo

Niech A,B 2 M m × n (Z).Mówimy,»emacierze A i B s¡równowa»ne,je±liistniej¡odwra-

calnemacierze P 2 U m (Z)i Q 2 U n (Z)takie,»e A = PBQ .Piszemywtedy A B .

7.2.1. NiechA,B,C 2 M m × n (Z) .Wtedy:

(1) A A;

(2) je±liA B,toB A;

(3) je±liA BiB C,toA C.

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika: