Laplace z przykładami.pdf

(93 KB) Pobierz
1
Przekształcenie Laplace’a
1.1
Definicja i podstawowe własno±ci przekształcenia Laplace’a
Definicja Niech dana b¦dzie funkcja f okre±lona na przedziale [0 , 1 ). Przekształcenie
(transformat¦) Laplace’a funkcji f definiujemy wzorem
Z 1
0 f ( t ) e − st dt,
F ( s ) =
gdzie s jest zmienn¡ zespolon¡. Funkcj¦ F nazywamy obrazem funkcji f i oznaczamy tak»e
przez L [ f ].
Przykład
Wyznaczymy z definicji transformat¦ funkcji f ( t ) = e t , gdzie 2 R.
Z 1
0 e t e − st dt =
Z 1
0 e ( − s ) t dt = lim
Z T
0 e ( − s ) t dt =
1
− s
T !1 e ( − s ) T − 1
F ( s ) =
lim
T !1
Poniewa» s 2 C, wi¦c s = x + iy , gdzie x = Re( s ), y = Im( s ). Wobec tego, zgodnie z wzorem
Eulera, mamy
e ( − s ) T = e ( − x ) T [ cos( yT ) − i sin( yT ) ]
Zatem je±li − x < 0, to otrzymujemy
1
s −
F ( s ) =
co oznacza, »e
1
s − ,
L [e t ] =
gdy
Re( s ) > .
(1)
Uwaga Analogicznie mo»na wyznaczy¢ transformat¦ funkcji f ( t ) = e at , gdzie a 2 C.
Otrzymamy wówczas
1
s − a ,
L [e at ] =
gdy
Re( s ) > Re( a ) .
(2)
Definicja
Funkcj¡ Heaviside’a nazywamy funkcj¦ okre±lon¡ wzorem
8
<
0
dla
t < 0
( t ) =
:
1
dla
t ­ 0
Przykład
Wyznaczymy z definicji transformat¦ funkcji Heaviside’a
Z 1
0 e − st dt = lim
Z T
0 e − st dt = − 1
T !1 e − sT − 1
F ( s ) =
lim
s
T !1
Zatem je±li x = Re( s ) > 0, to otrzymujemy
1
s
F ( s ) =
co oznacza, »e
1
s ,
L [ ( t )] =
gdy
Re( s ) > 0 .
(3)
1
1370818575.028.png 1370818575.029.png 1370818575.030.png
 
Uwaga
Powy»szy wzór jest te» zapisywany w postaci
1
s ,
L [1] =
gdy
Re( s ) > 0 .
(4)
Podamy teraz warunki wystarczaj¡ce istnienia transformaty Laplace’a
Twierdzenie
Je»eli funkcja f : [0 , 1 ) −! Rspełnia warunki:
1. na ka»dym przedziale [0 ,T ], gdzie T > 0, ma sko«czon¡ liczb¦ punktów nieci¡gło±ci i s¡
one pierwszego rodzaju,
2. 9 2 R 9 M> 0 8 t ­ 0 | f ( t ) |¬ M e t ,
to jej transformata Laplace’a L [ f ( t )] istnieje dla Re( s ) > .
Funkcj¦ spełniaj¡c¡ warunki 1-2 powy»szego twierdzenia nazywamy oryginałem .
Przekształcenie Laplace’a jest liniowe, co oznacza, »e je»eli istniej¡ transformaty Laplace’a
funkcji f i g oraz c 2 R, to
L [ f + g ] = L [ f ] + L [ g ] ,
(5)
L [ cf ] = c L [ f ] .
(6)
Przykład
Wyznaczymy transformaty Laplace’a funkcji cosh t i sinh t . Mamy
1
2
e t + e − t
1
2 L [e t ] + 1
2 L [e − t ]
L [cosh t ] = L
=
St¡d na podstawie wzoru (1) mamy
1
2
s − 1 + 1
1
1
s + 1
s
s 2 − 1
L [cosh t ] =
=
2
czyli
s
s 2 − 1 ,
L [cosh t ] =
gdy
Re( s ) > 1 .
(7)
Analogicznie, korzystaj¡c ze wzoru sinh t = 1 2 (e t − e − t ) mo»na otrzyma¢
1
s 2 − 1 ,
L [sinh t ] =
gdy
Re( s ) > 1 .
(8)
Je»eli f jest funkcj¡ zespolon¡ zmiennej rzeczywistej t dla t ­ 0, to znaczy
f ( t ) = u ( t ) + iv ( t ) ,
gdzie u i v s¡ funkcjami rzeczywistymi, dla których istniej¡ transformaty Laplace’a, to
L [ f ] = L [ u ] + i L [ v ] .
(9)
Przykład
Korzystaj¡c ze wzorów Eulera
e it = cos t + i sin t,
e − it = cos t − i sin t,
otrzymujemy
e it + e − it ,
e it − e − it .
1
2
1
2 i
cos t =
sin t =
2
1370818575.001.png 1370818575.002.png 1370818575.003.png 1370818575.004.png 1370818575.005.png
 
Zatem
1
2 L [e it ] + 1
2 L [e − it ] ,
L [cos t ] =
korzystaj¡c teraz z wzoru (2) otrzymujemy
s
s 2 + 1 ,
L [cos t ] =
gdy
Re( s ) > 0 .
(10)
Analogicznie
1
s 2 + 1 ,
L [sin t ] =
gdy
Re( s ) > 0 .
(11)
Nast¦pne twierdzenie dotyczy zmiany skali (zwane te» twierdzeniem o podobie«stwie)
Twierdzenie Je»eli funkcja f jest oryginałem, a F jej transformat¡, to dla dowolnego
> 0 prawdziwa jest równo±¢
s
1
F
L [ f ( t )] =
.
Przykład
Korzystaj¡c z powy»szego twierdzenia mo»na znale¹¢
s
2
1
2
s
s 2 − 4
L [cosh 2 t ] =
=
s
2
2
− 1
1
3
1
3
s 2 + 9
L [sin 3 t ] =
=
s
3
2
+ 1
1
s +
= s 2 + 8
s ( s 2 + 16)
Podamy teraz twierdzenie dotycz¡ce przesuni¦cia argumentów obrazu (zwane te» twierdze-
niem o tłumieniu)
Twierdzenie
1
2 L [1 + cos 4 t ] =
1
2
s
s 2 + 16
L [cos 2 2 t ] =
Je»eli funkcja f jest oryginałem, a F jej transformat¡, to dla dowolnego
2 Rzachodzi
L [e − t f ( t )] = F ( s + ) .
Wyznaczymy transformat¦ funkcji f ( t ) = e 2 t sin 3 t . Poniewa»
Przykład
3
s 2 + 9 ,
L [sin 3 t ] =
to zgodnie z podanym wy»ej twierdzeniem
3
( s − 2) 2 + 9
L [e 2 t sin 3 t ] =
Nast¦pne twierdzenie dotyczy przesuni¦cia argumentów oryginału
Twierdzenie Je»eli funkcja f jest oryginałem, a F jej transformat¡, to dla dowolnego
> 0 prawdziwa jest równo±¢
L [ f ( t − )] = e − s F ( s ) .
Wyznaczymy transformat¦ funkcji f ( t ) = sin t − 4
Przykład
.
Poniewa»
1
s 2 + 1 ,
L [sin t ] =
3
1370818575.006.png 1370818575.007.png 1370818575.008.png 1370818575.009.png 1370818575.010.png 1370818575.011.png 1370818575.012.png 1370818575.013.png 1370818575.014.png 1370818575.015.png 1370818575.016.png
 
to zgodnie z podanym wy»ej twierdzeniem
t −
4
1
s 2 + 1
= e − 4 s
L
sin
Wniosek Je»eli funkcja f jest oryginałem, a F jej transformat¡, to dla dowolnych , > 0
prawdziwa jest równo±¢
s
1
e − s F
L [ f ( t − )] =
.
Obecnie podamy twierdzenie o ró»niczkowaniu obrazu
Twierdzenie Je»eli funkcja f jest oryginałem, a F jej transformat¡, to dla dowolnego
n 2 Nprawdziwa jest równo±¢
L [ t n f ( t )] = ( − 1) n F ( n ) ( s ) .
Wyznaczymy transformat¦ funkcji f ( t ) = t n , dla dowolnego n 2 N. Poniewa»
Przykład
1
s ,
L [1] =
to zgodnie z podanym wy»ej twierdzeniem
L [ t n ] = ( − 1) n 1
s
( n )
n !
s n +1
=
czyli dla przykładu
L [ t ] = ( − 1) 1 1
s
0
1
s 2
=
L [ t 2 ] = ( − 1) 2 1
s
00
2
s 3
=
1.2
Odwrotne przekształcenie Laplace’a
Obok wyznaczania transformat danych funkcji wa»nym zagadnieniem jest znajdowanie funk-
cji, których transformaty s¡ dane. Zagadnienie to sprowadza si¦ do rozwi¡zania równania cał-
kowego postaci Z 1
0 f ( t ) e − st dt = F ( s ) ,
gdzie F jest dan¡ funkcj¡, za± f jest funkcj¡ niewiadom¡. Powy»sze równanie całkowe mo»na
zapisa¢ w postaci równania operatorowego
L [ f ( t )] = F ( s ) .
Je»eli pewna funkcja f jest rozwi¡zaniem równania całkowego, a tym samym i równania
operatorowego, to fakt ten b¦dziemy zapisywa¢ w postaci
f ( t ) = L − 1 [ F ( s )] .
Powy»szy wzór okre±la przekształcenie, które b¦dziemy nazywa¢ odwrotnym przekształ-
ceniem Laplace’a .
4
1370818575.017.png 1370818575.018.png 1370818575.019.png 1370818575.020.png 1370818575.021.png 1370818575.022.png 1370818575.023.png
 
Przykład Poniewa» L [1] = 1 s dla Re( s ) > 0, wi¦c L − 1 [ 1 s ] = 1 dla t > 0.
Poniewa» L [e at ] = 1
s − a dla Re( s ) > Re( a ), wi¦c L − 1 h 1
i
= e at dla t > 0.
Odwrotne przekształcenie Laplace’a jest liniowe, co oznacza, »e je»eli istniej¡ odwrotne
transformaty Laplace’a L − 1 [ F ] i L − 1 [ G ] oraz c 2 C, to
s − a
L − 1 [ F + G ] = L − 1 [ F ] + L − 1 [ G ] ,
(12)
L − 1 [ cF ] = c L − 1 [ F ] .
(13)
Przykład
Korzystaj¡c z powy»szych wzorów obliczymy transformat¦ odwrotn¡ funkcji
F ( s ) = 1
s 2 + s . Poniewa»
1
s ( s + 1)
1
s − 1
F ( s ) =
=
s + 1
wi¦c
L − 1 [ F ( s )] = L − 1 1
s
−L − 1
1
s + 1
= 1 − e − t
dla t > 0 .
1.3
Metoda operatorowa rozwi¡zywania równa« i układów równa«
ró»niczkowych
Metoda operatorowa rozwi¡zywania równa« i układów równa« ró»niczkowych opiera si¦ na
nast¦puj¡cym twierdzeniu:
Twierdzenie Je»eli funkcja f oraz jej pochodne f 0 , f 00 , ... , f ( n − 1) s¡ oryginałami, a
ponadto funkcja ta ma w przedziale (0 , 1 ) ci¡gł¡ n -t¡ pochodn¡, to istnieje transformata
Laplace’a L [ f ( n ) ] oraz prawdziwy jest wzór
L [ f ( n ) ( t )] = s n F ( s ) − s n − 1 f (0+) − s n − 2 f 0 (0+) − ... − sf ( n − 2) (0+) − f ( n − 1) (0+) ,
gdzie F ( s ) = L [ f ( t )] oraz
t ! 0 + f ( t ) , f 0 (0+) = lim
t ! 0 + f 0 ( t ) , ... f ( n − 1) (0+) = lim
t ! 0 + f ( n − 1) ( t ) .
f (0+) = lim
Uwaga
Dla n = 1 mamy
L [ f 0 ( t )] = sF ( s ) − f (0+)
a dla n = 2
L [ f 00 ( t )] = s 2 F ( s ) − sf (0+) − f 0 (0+)
Przykład Znajdziemy rozwi¡zanie równania y 0 − 2 y = 0 spełniaj¡ce warunek y (0) = 1.
Funkcj¡ nieznan¡ w tym równaniu jest y = y ( t ). Jej transformat¦ oznaczymy przez Y =
Y ( s ), czyli Y ( s ) = L [ y ( t )]. Z uwagi do twierdzenia wynika, »e L [ y 0 ( t )] = sY ( s ) − y (0). Wobec
tego stosuj¡c transformat¦ Laplace’a i jej własno±ci do równania, otrzymamy
L [ y 0 ] − 2 L [ y ] = L [0]
5
1370818575.024.png 1370818575.025.png 1370818575.026.png 1370818575.027.png
 

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin