Geometria dla klasy II liceum ogólnokształcącego 1973.pdf

(29886 KB) Pobierz
GEOMETRIA
DLA K L A S Y II L I C E U M O G Ó L N O K S Z T A Ł C Ą C E G O
Druga część planimetrii jest dalszym ciągiem teorii geo­
metrycznej opartej na dziewięciu własnościach, które przyjęli­
śmy jako podstawowe1). Na końcu książki znajdziecie listę
własności oraz spis symboli, tych, których używaliśmy dotąd
w nauce geometrii, i tych, które wprowadzimy w dalszym
ciągu.
W podręczniku geometrii dla klasy drugiej zachowano
przyjęty w podręczniku geometrii dla klasy pierwszej sposób
numeracji twierdzeń i definicji.
Jeżeli odwołujemy się np. do pierwszej definicji z paragra­
fu 2', to piszemy: Def. 2,1; jeżeli odwołujemy się do trzeciego
twierdzenia z tego paragrafu — to piszemy: T. 2,3. Jeżeli
odwołujemy się do tekstu podręcznika dla klasy pierwszej,
to używamy skrótu Cz. I (część pierwsza). Tak więc, gdy pi­
szemy np.: Cz. I, Def. 7,3, Cz. I, T.
8
,
1
, Cz. I, str. 25, Cz. I,
§ 20, powinieneś przypomnieć sobie treść definicji 7,3, twier­
dzenia 8,1, tekst ze strony 25, odpowiedni fragment § 20
podręcznika dla klasy pierwszej.
Uczenie się geometrii z podręcznika dla klasy drugiej, po­
dobnie jak to było w klasie pierwszej, wymaga przede wszy­
stkim bardzo uważnego jego czytania, bardzo starannego
i dokładhego uświadamiania sobie treści każdego zdania, przy-
*) Geometria dla kl. I lic. ogóln., wydanie szóste, rok 1972.
swojenia sobie najpierw rozumowego i następnie pamięcio­
wego najważniejszych twierdzeń i definicji oraz samodzielne­
go rozwiązania możliwie wielu zadań.
Geometria jest nauką dedukcyjną; pominięcie jednego jej
ogniwa, zapomnienie jednej tylko definicji, czy jednego twier­
dzenia, może spowodować zupełne niezrozumienie dalszego
ciągu. Dlatego przy uczeniu się z podręcznika geometrii
często musimy powracać do poprzednich twierdzeń, definicji
i rozumowań. Czytanie tekstu matematycznego nie jest łat­
we. Nie należy się więc zniechęcać, gdy nie wszystko jest od
razu zrozumiałe, ale też nie należy nigdy pomijać tego, co
jest niezrozumiałe. Czytaj każde zdanie uważnie, pomagając
sobie ilustracją rysunkową.
Podobnie jak w podręczniku geometrii dla klasy I, tak
i w podręczniku dla klasy II oznaczono znakiem (M^fragmen-
ty tekstu, przeznaczone do samodzielnego opracowania przez
uczniów, interesujących się matematyką i oczywiście tych
wszystkich, którzy chcą po ukończeniu szkoły średniej podjąć
studia na kierunku obejmującym także matematykę.
WEKTORY I TWIERDZENIE TALESA
§ 1. Zmiana jednostki odległości
1.1. W YMIERZANIE ODCINKA DANĄ JEDNOSTKĄ
We wstępie do geometrii (Cz. I, § 3) wyjaśniliśmy, w jakim zna­
czeniu używa się w matematyce terminu „odległość” . Mówimy mia­
nowicie, że w danym zbiorze jest określona odległość, jeżeli każdej
parze elementów
X, Y
tego zbioru przypisano po jednej liczbie nie-
ujemnej zwanej odległością
X
od
Y
tak, że:
1° odległość
X o d Y = O o X = Y,
2
° odległość
X
od
Y =
odległość
Y
od
X,
3° odległość
X
od
Z
^ odległość
X
od
Y
+ odległość
Y
od
Z.
Tym trzem warunkom można uczynić zadość różnymi sposobami.
Nie tylko w teorii, ale i w praktyce mówimy o odległościach w róż­
nych znaczeniach.
Ustalając podstawowe własności płaszczyzny przyjęliśmy, że jest
w niej określona odległość, która spełnia nie tylko trzy wymienione
warunki, ale także i inne warunki, wyrażające związki tej odległości
z współliniowością punktów, z porządkiem w prostej, z przekształce­
niami płaszczyzny itp. (przypomnij sobie w szczególności W. IV,
W. V,W. VI i W. IX). Tę ustaloną na wstępie odległość punktów
X, Y
oznaczyliśmy
XY.
Jeżeli ta ustalona odległość dla końców pewnego
odcinka jest równa
1
, to ten odcinek nazywamy jednostką tej odległo­
ści. Odległość spełniającą warunki opisane w własnościach podstawo­
wych będziemy dalej nazywać
odległością geometryczną.
W praktyce, w zależności od potrzeby i możliwości, od dostęp­
nych nam przyrządów, od celu pomiaru, wymierzamy odległości
różnymi jednostkami (kilometr, metr, centymetr, mikron, rok świetlny
w astronomii itp.). W każdym z tych przypadków przyjmuje się
umownie odległość pewnych dwóch punktów przestrzeni jako jed­
nostkową, tj. równą
1
, i tak ustaloną jednostką wymierza się inne
odległości. Taką np. jednostkową odległością może być odległość
danych dwóch kresek na naciągniętej taśmie mierniczej.
Mierząc jednostką zadaną przez punkty
M, N
długość danej kon­
kretnie na rysunku
1
prostoliniowej kreski o końcach oznaczonych
A, B,
stwierdzamy kolejno, że poszukiwana odległość:
1
) jest zawarta między liczbami
1
i
2
; liczbę
1
przyjmujemy jako
dolne przybliżenie tej długości z dokładnością do
1
, liczbę
2
jako gór­
ne przybliżenie tej długości z dokładnością do
1
;
2) jest zawarta między liczbami 1,3 i 1,4; 1,3 jest dolnym, 1,4 —
górnym przybliżeniem tej długości z dokładnością do
0
,
1
;
3) jest zawarta między 1,31 i 1,32; 1,31 jest dolnym, 1,32 — gór­
nym przybliżeniem tej długości z dokładnością do
0
,
01
. O takim po­
stępowaniu możemy pomyśleć również w teprii, przy czym nasuwa Się
pytanie, jaki związek zachodzi między wymierzaniem i odległością
geometryczną.
Naśladując w teorii praktyczny sposób wymierzania długości
prostoliniowych przedmiotów daną jednostką, będziemy pamiętać,
że w geometrii opisujemy p o m y ślane tylko czynności w zastosowa­
niu do po m y ślan y ch tylko figur. Rysunek
1
posłuży nam w dalszym
ciągu jedynie jako ilustracja pomyślanego wymierzania jednego od­
cinka drugim odcinkiem. W praktyce wykonać możemy tylko skoń­
czony ciąg czynności, których wynikiem jest pomiar przybliżony.
M
Ml l Mll----------- 1
ll ł
A
■
I
ł.------------1
------------
N
2
_____________________________________
P_
o
H
Rys. i

Plik z chomika:

Inne pliki z tego folderu:

Inne foldery tego chomika:

Zgłoś jeśli naruszono regulamin